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1、多传感器融合方法一、数学知识1、期望定义1设X是离散型随机变量，它的概率函数是：P(X = X ) = p ,k = 1,2,kk如果乞|x|p有限，定义X的数学期望k kk=1 E(X)=兰 x pkkk=1定义2设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x)，如果(x)有限，定g义X的数学期望为E (x)=卜 xf (x)dxg2、条件数学期望定义X在Y = y的条件下的条件分布的数学期望称为X在Y = y的条件下的条件 期望。当(X,Y)为离散随机向量时E(X I Y = y)=工 xP(X = x I Y = y)iii当(X,Y)为连续随机向量时E(X I Y = y)=Lgxp (x
2、 I y)dxg x|y3、贝叶斯公式定义 设Q为试验E的样本空间，B为E的事件，A ,A , A为Q的一个划分，且1 2 nP(B) 0，P(A ) 0(i = 1,2,n)，则i/、P(B I A ) P(A )P(A I B)=i i , i = 1,2,z P(bia )p(a )jjj=1称此为贝叶斯公式。4、贝叶斯估计入I*入期望损失：R（e i x）=J 九（e,e）p（o i x）do0损失函数：九（O,o），把e估计为0所造成的损失常用损失函数：九（0,o）=（0-0）2，平方误差损失函数如果采用平方误差损失函数，则e的贝叶斯估计量0是在给定x时e的条件期望，即：0 = E
3、0 I x = J 0 p（0 I x）d00同理可得到，在给定样本集X下，的贝叶斯估计是：0 = Eb I 咒0p（0 I 咒）d00求贝叶斯估计的方法：（平方误差损失下）确定e的先验分布p（0）求样本集的联合分布p (0 I 咒)=厅 p (x 10)ii =1求的后验概率分布p(0lx) =p(兀10)p(0)J p(X 10)p(0 )d00求的贝叶斯估计量0 = J 0 p (01 x)d00Gaussian情况，仅参数0 =卩未知给定样本集X，已知随机变量xN（RQ2）均值未知而方差已知。均值变量k的先验分布4N(4 ,02)，求的后验概率p(41 X)00(,P(X14)P(4)
4、P(4 =J p(X14)P(4)d4小 i、P (4, x , x , x )P (4 I x , x , x ) =-1 21P (x , x , x )12l=申 (4 口P(x,疋，x1) (4Q彳)虫=1 厂 一、 12 10申 (x )(42) k丿00 0丿111 亠 |expl 11 4 4 .J2r0l 2( 、x 4ko 丿 k=1k其中：1申 (卩)=exp(%q討2兀o01申 (x ) =exp(4 ,o2) k2兀ok( 、-0I0 0丿丿-HkI 0 k丿1n =P (x , x , x )12l在已知(x ,x ,12是|1的二次函数,X )的条件下，被测参数H的
5、条件概率密度函数的指数部分 l,X )也服从高斯分布，设4NC ,02), lx ,x ,12,C 2NNP(卩X1，X2,即：1( 、4 4 2N2、0 丿J N丿1expv;2koN综合以上两式可得：y x _ 4a + o02 0 24= -k=1 k 0n y丄+丄02 0 2k =1 k0用R表示被测参数H的贝叶斯估计结果，贝1( 、4 4 22J 0丿JN丿d卩=卩N1J1 = 1 4exp2兀oN5、最大似然估计似然函数：在统计学中，是一种关于统计模型参数的函数。给定输出x时，关于 参数e的似然函数L(e)(在数值上)等于给定参数e后变量x的概率。L(0) = P( X = x
6、10) = P( X = x;0)最大似然估计：事件A与参数0 G0有关，e取值不同，则P(A)也不同。若A 发生了，则认为此时的e值就是e的估计值。离散型设总体x是离散型随机变量，其概率函数为p(x；o)，其中e是未知参数。设X ,X , X为取自总体x的样本，x ,X , X的联合概率函数为Up(X ;0),12n12nii=1若e为常量，则表示x = x,x = x, x = x 的概率。1122nn若已知样本取的值是x ,x , x，则事件X = x ,X = x , X = x 发生的12n1122n n 概率为Up(x ；0)，这一概率随e的值而变化。从直观上来看，既然样本值ii=
7、1x , x , x出现了，它们出现的概率相对来说应比较大，应使 UP(X ;0)取比较12nii=1大的值。换句话说，e应使样本值x,x , x的出现具有最大的概率，将上式看12n作e的函数，并用l(o)表示，就有：L (0) = L (x , x , x ; 0) = U p (X ; 0)12nii=1称l(0)为似然函数。极大似然估计法就是在参数e的可能取值范围内，选 取使l(0)达到最大的参数值6，作为参数e的估计值，即取e,使L(0) = L(x ,x , x ;0) = maxL(x ,x , x ;0)1 2n0e1 2n因此，求总体参数e的极大似然估计值的问题就是求似然函数l
8、(0)的最大 值问题，可通过解下面的方程d|0)= 0来解决。因为InL是的L增函数，所以InL与L在6的同一值处取得最大值。称l(0) = InL(0)为对数似然函数dlnL()= 0称为似然方程。解上述两个方程得到的0就是参数6的极大似然估 d0计值。连续型设总体X是连续型随机变量，其概率函数为f (x;0 )，若取得样本观察值为 x ,x , x，则因为随机点(X ,X , X )取值为(x,x , x )时联合密度函数值为12n12n12nrf f(x ；o)。所以，按极大似然法，应选择6的值使此概率达到最大，取似然 ii=1函数为L(0) = Hf (X ;0)，再按前述方法求参数6
9、的极大似然估计值。ii=1求最大似然函数估计值的一般步骤：写出似然函数对似然函数取对数，并整理求导数解似然方程6、均方误差均方误差(Mean Squared Error, MSE):在数理统计中均方误差是指参数估计值 与参数真值之差平方的期望值。MSN =丄(observed - predicted )2nttt=1二、多传感器融合方法1、基于贝叶斯估计的多传感器检测数据融合方法该方法主要用于利用多个相同类型传感器对同一被测参数的测量，使用该方法可以改善单个传感器可靠性对最终测量结果的影响。1） 置信距离理论x 和 x 分别表示在一次测量中第 i 个和第 j 个传感器的输出数据，有： ijd
10、= 2fijxj p (x I x )dx = 2Si i id = 2 fjixixixp (x I x ) dx = 2 Sj j j式中 d 定义为 x 对 x 的置信距离， ijij式中d为x对x的置信距离。jiji( 、 二JI Q.丿i将这些值用矩阵形式表示，即为D 二m（2） 最佳融合数的选择方法n 个传感器输出数据的置信距离矩阵。ddd11121mddd21222 md:d: :d:L mim 2.:.mmp (x I x ) = . expi i2nGi/ 一1x - xj2QJ j丿p (x I x ) =1 expjj2兀Qj置信距离反映了传感器输出数据之间的相互支持关系
11、，如d反映了传感器iij输出数据对传感器j输出数据的支持程度。置信距离越小，两个传感器的观测值 越相近，否则偏差就很大。由此方法可以得到n个传感器中任意两个传感器输出数据之间的置信距离，得到置信距离矩阵后需要选择一个临界值卩对置信距离进行划分，用以判 ij断两个传感器输出数据之间是否支持。当d p时，认为第i个传感器的输出支持第j个传感器的输出数据，当 ij ijd 0时，认为第i个传感器的输出不支持第j个传感器的输出数据。ij ijId 0r = 0ij ij由此也可得到一个矩阵，称之为关系矩阵：r11r12r21r22r1mr2mr r:L mim2厂：-mm关系矩阵表示任意两个传感器输出
12、之间是否支持，由此可以判断每一个传感器输出数据是否认为有效。这样需要第二个临界值m,即对于一个传感器输出,当它被多于m个传感器输出支持时认为其输出数据有效。由此方法依据关系矩阵对 n 个传感器的输出结果进行选择，得到 l 个有效数据参与融合计算，这 l 个有 效数据成为最佳融合数。3) 基于贝叶斯估计的融合计算方法=-k=1 k工丄+O 2 o 2k=1k 04) 实验仿真设被测参数U服从高斯分布，设卩N(350,8.45)。传感器 编号123456789输出值 方差.置信矩阵：00.89220.97600.37271. 00000. 63130.28260.97100.99990.91630
13、0.51540.99520. 99950. 55430.96590.464L1.00001.00000.923401.00001. 00000.9998L. 00000.16021.00000.8+030.99610.999501. 00000. 97460.71650.99940. 96U0.99260.930S0.BB310.999700. 97340.99660.S6441.00000.61280.50480.B0B80.98030. 999300.77480.78341.00000.27880.94790.99D20.74S41. 00000.786100.98790.99930.97470.44470.DEDE0.9999
