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1、二次函数的动态问题（动点)1.如图，正方形的顶点的坐标分别为,顶点在第一象限点从点出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动,同步，点从点出发,沿轴正方向以相似速度运动.当点达到点时，两点同步停止运动,设运动的时间为秒(1）求正方形的边长.()当点在边上运动时,的面积（平方单位)与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图所示），求两点的运动速度.（3）求（)中面积(平方单位）与时间（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标. （4）若点保持（2）中的速度不变,则点沿着边运动时,的大小随着时间的增大而增大;沿着边运动时,的大小随着时间的增大而减小.当点沿着这两边运动时，使的点有 个 （抛物线的顶点
2、坐标是图图解 (1）作轴于,.（2）由图可知,点从点运动到点用了0秒又两点的运动速度均为每秒个单位（)措施一：作轴于,则.，即.， 即,且，当时,有最大值.此时,点的坐标为.(分)措施二:当时，设所求函数关系式为.抛物线过点， ，且，当时，有最大值此时，点的坐标为 （4).点评本题重要考察函数性质的简朴运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的核心在于结合题目的规定动中取静，相信解决这种问题不会非常难。2. 如图，中，它的顶点的坐标为,顶点的坐标为,点从点出发,沿的方向匀速运动，同步点从点出发，沿轴正方向以相似速度运动,当点达到点时，两点同步停止运动,设运动的时间为秒.(1）求的度数（2)
3、当点在上运动时，的面积(平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分,(如图),求点的运动速度(3)求(）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标.(4)如果点保持(2）中的速度不变，那么点沿边运动时，的大小随着时间的增大而增大；沿着边运动时,的大小随着时间的增大而减小，当点沿这两边运动时,使的点有几种?请阐明理由（第29题图）ACBQDOPxy3010O5tS（第29题图）解: ().（2)点的运动速度为2个单位秒(3）()当时,有最大值为,此时（4)当点沿这两边运动时,的点有2个当点与点重叠时,，当点运动到与点重叠时,的长是12单位长度,作交轴于点,作轴于点，由得：,因
4、此，从而第29题图因此当点在边上运动时，的点有个同理当点在边上运动时，可算得而构成直角时交轴于,，因此，从而的点也有1个.因此当点沿这两边运动时,的点有2个.3. （本题满分4分）如图，直线与轴交于点,与轴交于点,已知二次函数的图象通过点、和点.（1)求该二次函数的关系式；(2)设该二次函数的图象的顶点为,求四边形的面积;（3)有两动点、同步从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线 按的路线运动,点以每秒个单位长度的速度沿折线按的路线运动,当、两点相遇时,它们都停止运动.设、同步从点出发秒时,的面积为S .请问、两点在运动过程中,与否存在，若存在，祈求出此时的值；若不存在,请阐明理由;祈求
5、出S有关的函数关系式,并写出自变量的取值范畴;设是中函数S的最大值,那么 = 解：（1）令，则；令则二次函数的图象过点，可设二次函数的关系式为又该函数图象过点解之,得，.所求二次函数的关系式为 （2)顶点的坐标为 过点M作MF轴于F四边形AOCM的面积为 (3）不存在DEOC 若DEO，则点D，应分别在线段A,CA上,此时,在中，设点的坐标为, ， 2,不满足.不存在.根据题意得D，E两点相遇的时间为(秒）现分状况讨论如下:）当时,;）当时，设点E的坐标为, ）当2 时,设点E的坐标为，类似可得设点D的坐标为,=47有关的二次函数以轴为对称轴,且与轴的交点在轴上方.(）求此抛物线的解析式，并在
6、下面的直角坐标系中画出函数的草图；(2)设是轴右侧抛物线上的一种动点，过点作垂直于轴于点,再过点作轴的平行线交抛物线于点,过点作垂直于轴于点,得到矩形.设矩形的周长为，点的横坐标为,试求有关的函数关系式；（3)当点在轴右侧的抛物线上运动时，矩形能否成为正方形若能，祈求出此时正方形的周长；若不能，请阐明理由参照资料:抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线解:(1)据题意得:,当时,.当时，又抛物线与轴的交点在轴上方，抛物线的解析式为:函数的草图如图所示（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大体形状对的即可）（2）解:令，得不时,，43211234（第26题）当时，,.有关的函数关系是：当时，;当时，.（
7、3）解法一：当时,令,得解得(舍）,或将代入,得当时，令，得.解得(舍），或将代入,得.综上,矩形能成为正方形,且当时正方形的周长为;当时,正方形的周长为解法二:当时，同“解法一”可得正方形的周长当时,同“解法一”可得.正方形的周长综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为;当时，正方形的周长为.解法三:点在轴右侧的抛物线上，且点的坐标为令,则,或由解得（舍),或;由解得（舍)，或.又,当时；当时.综上，矩形能成为正方形，且当时正方形的周长为;当时，正方形的周长为5已知抛物线y=axc与x轴交于A、两点,与y轴交于点,其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、C的长（BOC)
8、是方程x210x6=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线-2（)求、B、C三点的坐标;()求此抛物线的体现式;(3)连接C、C，若点E是线段AB上的一种动点(与点A、点B不重叠）,过点作EAC交B于点F，连接CE，设A的长为m,CEF的面积为S,求与m之间的函数关系式，并写出自变量的取值范畴;（4）在(3）的基本上试阐明与否存在最大值,若存在,祈求出S的最大值，并求出此时点E的坐标,判断此时BCE的形状；若不存在，请阐明理由第26题图解：(1)解方程x2-10x+16=0得x1=2，x2=点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上，且OOC点B的坐标为（2，0）,点C的坐标为（,8）又抛物线y=
9、axbc的对称轴是直线2由抛物线的对称性可得点A的坐标为（6,0)（2）点C(0，)在抛物线y=x2bx的图象上c,将A(,0)、B(，0)代入体现式，得 第26题图(批卷教师用图)解得所求抛物线的体现式为y-2-8 （3)依题意，AE=m,则B=-，OA=6，C=8，A10EFACEFBAC= 即过点F作FGAB,垂足为，则siEGsinCAB= FG=8-mS=SBCEBF(8m）8-（8-）(-m)=(m）（-8+m）（8-m)m-m24m 自变量m的取值范畴是0m8 （4)存在.理由：S=-m2+4=（m-4)+8 且0，当m时，有最大值，S最大值= m4,点E的坐标为(-,0)CE为
10、等腰三角形6.（4分)如图：抛物线通过A（-3，0)、B（，4)、C(4,0)三点.(1)求抛物线的解析式. （）已知 AB(D在线段上),有一动点P从点A沿线段A以每秒1个单位长度的速度移动；同步另一种动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动,通过t 秒的移动，线段Q被D垂直平分,求的值;(3)在(2）的状况下，抛物线的对称轴上与否存在一点，使MQ+MC的值最小？若存在，祈求出点M的坐标;若不存在，请阐明理由。（注:抛物线的对称轴为）（1）解法一:设抛物线的解析式为y (x+ )(x ） 由于B(0,)在抛物线上,因此4= ( 0 + 3 ) （ 0 -4 )解得= -1/3 因此抛物线解析式为
11、解法二:设抛物线的解析式为,依题意得:c4且 解得 因此 所求的抛物线的解析式为（)连接DQ，在RtAOB中，因此AD=A= 5,AC=AD+C=3+ 4= 7,D AC - D =7 5=2由于BD垂直平分PQ,因此PD=Q，PD，因此PDB=QD由于AD=AB，因此AB=ADB,BD=DB,因此QA因此=BA。CDQCAB,因此CDQ CAB 即因此A=AD DP= D= ， 因此t的值是(3）答对称轴上存在一点M，使MQ+C的值最小理由:由于抛物线的对称轴为因此A（- 3，），（4，)两点有关直线对称连接AQ交直线于点,则MQC的值最小过点Q作QEx轴，于E,因此QED=BO900 DQ
12、AB, A=QE， DQABO即 因此QE=,DE,因此OE = O + E=2+=，因此Q（,）设直线A的解析式为则 由此得 因此直线AQ的解析式为 联立由此得因此则:在对称轴上存在点M,使MQMC的值最小。7.如图9,在平面直角坐标系中,二次函数的图象的顶点为D点,与轴交于点,与x轴交于、两点, 点在原点的左侧,B点的坐标为(，），OB=OC ,tanACO=.(1）求这个二次函数的体现式.（2)通过C、两点的直线,与x轴交于点，在该抛物线上与否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,祈求出点的坐标；若不存在，请阐明理由(3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于、两点,且以M为直径的圆与轴相切,求该圆半径的长度(4)如图10，若点(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时,APG的面积最大?求出此时点的坐标和AG的最大面积. （）措施一：由已知得：C(0，-),A（1,0） 分将A、B、C三点的坐标代入得 2分解得：
