《坐标系与参数方程第四十一讲坐标系与参数方程答案5677》由会员分享，可在线阅读，更多相关《坐标系与参数方程第四十一讲坐标系与参数方程答案5677（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 专题十五 坐标系与参数方程 第四十一讲 坐标系与参数方程 答案部分 2019 年 1 t 2 1解析（1）因为 1 1 ，且 1 t 2 x 2 2 2 2 2 y 1 t 4t 1，所以 C 的直角 2 1 t 1 t 2 2 2 坐标方程为 y 2 x2 1(x 1) . 4 l 的直角坐标方程为 2x 3y 11 0 . cos , x （2）由（1）可设 C 的参数方程为 y 2sin （ 为参数， ）. 4 cos 11 | 2 cos 2 3 sin 11| 3 . C 上的点到l 的距离为 7 7 2 时， 4 cos 11取得最小值 7，故 C 上的点到l 距离的最小值为 7
2、 . 当 3 3 2解析（1）因为 M 0 ,0 在 C 上，当 0 3 由已知得| OP | | OA| cos 2. 3 时， . 0 4 sin 2 3 3 设Q( , ) 为 l 上除 P 的任意一点.在 RtOPQ 中 cos | OP | 2 3 ， 经检验，点 P(2, ) 3 在曲线 cos 2 上. 3 所以，l 的极坐标方程为 cos 2 3 . （2）设 P( , )，在 RtOAP 中，| OP | | OA| cos 4 cos , 即 4 cos . 因为 P 在线段 OM 上，且 AP OM ，故 的取值范围是 , 4 2 . 1 所以，P 点轨迹的极坐标方程为
3、4 cos , , 4 2 . 3. 解析（1）由题设可得，弧 AB, BC,CD 所在圆的极坐标方程分别为 2 cos ， ， 2 cos . 2 sin 所 以 M1 的 极 坐 标 方 程 为 2 cos 0 剟 ， 4 M 的 极 坐 标 方 程 为 2 2sin 剟 ， M 的极坐标方程为 3 3 4 4 2 cos 剟 . 4 3 （2）设 P( , ) ，由题设及（1）知 0 剟 ，则 2 cos 3 ，解得 ； 若 4 6 3 或 2 剟 ，则 2 sin 3 ，解得 ； 若 4 4 3 3 3 5 剟 ，则 2 cos 3 ，解得 . 若 4 6 综上，P 的极坐标为 3,
4、6 3, 或 3 2 3, 或 3 5 3, 或 6 . 4.解析 由圆的参数方程，可得圆的普通方程为 x 2 y 1 4 ， 2 2 因为直线 ax y 2 0 和圆相切， 2a 1 2 所以圆心2,1到直线 ax y 2 0 的距离 d 2 r a 1 2 ， 解得 3 a 4 2010-2018 年 11 2 【解析】利用 x cos ， y sin ，可得直线的方程为 x y a 0 ，圆 的方程为 (x 1)2 y2 1，所以圆心 (1, 0) ，半径 r 1，由于直线与圆相切，故圆心 2 到直线的距离等于半径，即 |1 a | 1 ， a 1 2 或1 2 ， 2 又 a 0 ，
5、a 1 2 21【解析】圆的普通方程为 x2 y2 2x 4y 4 0 ，即(x 1)2 (y 2)2 1 设圆心为C(1, 2) ，所以| AP | | PC | r 2 1 1 min 32【解析】直线的普通方程为 2 3x 2y 1 0 ， 圆的普通方程为 x2 (y 1)2 1， 因为圆心到直线的距离 3 d 1 ，所以有两个交点 4 42【解析】将 cos 3 sin 1 0 化为直角坐标方程为 x 3y 1 0 ，将 =2cos 化为直角坐标方程为 (x 1) y 1，圆心坐标为(1,0)，半径 r=1，又(1，0)在直线 2 2 x 3y 1 0 上，所以|AB|=2r=2 5
6、5 2 2 【解析】由 2 sin( ) 2 ? = ，所以 y - x =1， - = 得 2 2 (sin cos ) 2 4 2 故直线l 的直角坐标方程为 x - y +1= 0 ，而点 7 A(2 2, ) 4 对应的直角坐标为 A(2,- 2) ，所以点 A(2,- 2) 到直线l ： x - y +1= 0 的距离为 | 2 +2 +1| 5 2 = 2 2 66【解析】圆 =8sin 即 2 =8 sin ，化为直角坐标方程为 x2 +(y - 4)2 =16， 直线 = ，则 tan = 3 ，化为直角坐标方程为 3x - y = 0 ，圆心(0, 4) 到直线 3 的距离为
7、 | - 4 | 4 = 2，所以圆上的点到直线距离的最大值为 6 7【解析】(1)由 x cos ， y sin 得C 的直角坐标方程为(x 1)2 y2 4 2 (2)由(1)知C2 是圆心为 A( 1, 0) ，半径为 2 的圆 由题设知，C1 是过点 B(0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为 l ， y 1 轴左边的射线为l2 由于 B 在圆C2 的外面，故C1 与C2 有且仅有三个公共点等价于l1 与 3 C 只有一个公共点且l 与C 有两个公共点，或l 与C 只有一个公共点且l 与C 有两 2 2 2 2 2 1 2 个公共点 当 l1 与 C2 只有一个
8、公共点时， A 到 l1 所在直线的距离为 2 ，所以 | 2 | k k 1 2 2 ，故 4 k 或 k 0 3 4 经检验，当 k 0 时， k 时， l 与C 没有公共点；当 l 与C 只有一个公共点，l 1 2 1 2 2 3 与C2 有两个公共点 当l2 与C2 只有一个公共点时，A 到l2 所在直线的距离为 2 ，所以 | k 2 | k 1 2 2 ， 故 k 0 4 k 或 3 4 经检验，当 k 0 时， k 时， l 与C 没有公共点；当 l 与C 没有公共点 1 2 2 2 3 4 综上，所求C1 的方程为 y x | | 2 3 8【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程
9、为 x y 2 2 1 4 16 当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 y tan x 2 tan ， 当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 x 1 (2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程 (1 3cos )t 4(2 cos sin )t 8 0 2 2 因为曲线 C 截直线l 所得线段的中点 (1, 2) 在C 内，所以有两个解，设为t ，t ，则 1 2 t1 t2 0 又由得 4(2 cos sin ) t t ，故 2 cos sin 0 ，于是直线 l 的斜率 1 2 2 1 3cos k tan 2 9【解析】(1) e O 的直角坐标方程为
10、x2 y2 1 时，l 与 e O 交于两点 当 2 4 当 时，记 tan k ，则 l 的方程为 y kx 2 l 与 e O 交于两点当且仅当 2 2 或 ( , ) | | 1 ，解得 k 1 或 k 1，即 ( , ) 1 k 4 2 2 4 2 综上， 的取值范围是 ( , ) 4 4 cos , x t (2) l 的参数方程为 2 sin y t (t 为参数， ) 4 4 设 A ， B ， P 对应的参数分别为tA ， tB ，tP ，则 t P t t A B ， 2 且 t ，t 满足 t2 2 2tsin 1 0 A B 于是 t t 2 2 sin ， t 2 si
11、n 又点 P 的坐标 (x, y) 满足 A B P x t cos , P y 2 t sin . P 所以点 P 的轨迹的参数方程是 2 x sin 2 , 2 2 2 y 2 2 cos 2 ( 为参数， ) 4 4 10C【解析】因为曲线C 的极坐标方程为 =4cos ， 所以曲线C 的圆心为 (2, 0) ，直径为 4 的圆 因为直线l 的极坐标方程为 sin( ) 2 ， 6 则直线l 过 A(4,0)，倾斜角为 6 ， 所以 A 为直线l 与圆C 的一个交点 设另一个交点为 B，则OAB= 6 连结 OB，因为 OA 为直径，从而OBA= 2 ， l O A x B 5 所以 A
12、B 4 cos 2 3 6 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为 2 3 11【解析】（1）曲线C 的普通方程为 x 2 9 y2 1 当 a 1时，直线l 的普通方程为 x 4y 3 0 x 4y 3 0 由 2 x y 1 2 9 解得 x 3 y 0 或 21 25 x 24 y 25 21 24 从而C 与l 的交点坐标为 (3, 0) ，( , ) 25 25 （2）直线l 的普通方程为 x 4y a 4 0 ，故C 上的点(3cos , sin ) 到l 的距离为 d | 3cos 4 sin a 4 | 17 当 a 4 时， d 的最大值为 9 a 17 由题设得 a 9 17
13、 17 ，所以 a 8； 当 a 4时， d 的最大值为 1 a 由题设得 17 a 1 17 17 ，所以 a 16 综上， a 8或 a 16 12【解析】（1）设 P 的极坐标为( , ) ( 0) ， M 的极坐标为( , ) 1 ( 0) 1 由椭圆知 4 | OP | ，| OM | 1 cos 由| OM | | OP | 16 得C 的极坐标方程 4 cos ( 0) 2 因此 C 的直角坐标方程为 (x 2)2 y2 4(x 0) 2 （2）设点 B 的极坐标为 ( , ) ( 0) 由题设知| OA| 2 ， 4 cos ，于是 B B B OAB 面积 1 S | OA|
14、 sin AOB B 2 6 4 cos | sin( ) | 3 3 2 | sin(2 ) | 3 2 2 3 当 时， S 取得最大值 2 3 12 所以 OAB 面积的最大值为 2 3 13【解析】（1）消去参数t 得 1 2 ； l 的普通方程l : y k x 1 1 消去参数 m 得l 的普通方程l : y x 2 2 2 k 设 P(x, y) ，由题设得 y k x 2 ，消去 k 得 x y y 2 2 4 0 1 y x 2 k 所以C 的普通方程为 x y y 2 2 4 0 （2）C 的极坐标方程为 2 cos2 sin2 4 0 2 , cos sin 2 2 2
15、4 联立 得 cos sin =2 cos + sin + - 2=0 cos sin 1 3 故 tan 2 9 2 1 ，从而 cos sin = ， = 10 10 代入 cos sin 2 2 - 2 =4 得 2 =5，所以交点 M 的极径为 5 14【解析】直线l 的普通方程为 x 2y 8 0 . 因为点 P 在曲线C 上，设 P(2s2 ,2 2s) ， d 从而点 P 到直线l 的的距离 | 2s2 4 2s 8| 2(s 2)2 4 ( 1) ( 2) 2 2 5 ， 当 s 2 时， 4 5 d . min 5 7 因此当点 P 的坐标为 (4, 4)时，曲线C 上点 P
16、 到直线l 的距离取到最小值 4 5 5 . cos x a t 15【解析】(1) y 1 asint （t 均为参数） 2 x2 y 1 a2 C 为以 0， 1 为圆心， a 为半径的圆方程为 1 x2 y2 2y 1 a2 0 x2 y2 2 ，y sin 2 2 sin 1 a2 0 即为 C 的极坐标方程 1 (2)C2 ： 4cos 两边同乘 得 2 4 cos Q 2 x2 y2 ， cos x x2 y2 4x 即 2 2 x 2 y 4 C ：化为普通方程为 y 2x ，由题意：C 和C 的公共方程所在直线即为 C 3 1 2 3 得： 4x 2y 1 a2 0 ，即为 C
17、 3 1 a2 0 ， a 1 16【解析】（）整理圆的方程得 x2 y2 12 11 0 ， 由 2 2 2 x y2 2 2 x y cos x sin y 可知圆 C 的极坐标方程为 2 12 cos 11 0 ()记直线的斜率为 k ，则直线的方程为 kx y 0 ， 由垂径定理及点到直线距离公式知： 2 6k 10 25 2 2 1 ， k 36k 90 2 即 1 k 4 2 k 5 ，则 15 ，整理得 2 k 3 3 17【解析】（）C 的普通方程为 1 x 2 3 y2 1，C 的直角坐标方程为 x y 4 0 . 2 （）由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3 cos ,s
18、in ) ，因为 C 是直线， 2 8 所以| PQ | 的最小值，即为 P 到C 的距离 d( ) 的最小值， 2 d( ) 2 | sin( ) 2 | | 3 cos sin 4 | 2 3 当且仅当 2k (k Z) 时， d( ) 取得最小值，最小值为 2 ， 6 3 1 此时 P 的直角坐标为 ( , ) 2 2 18【解析】椭圆C 的普通方程为 y 2 x2 1，将直线l 的参数方程 4 1 x 1 t 2 3 y t 2 ， 代入 3 ( t) 2 y 1 2 2 x ，得 ，即7t2 16t 0 ， 2 1 (1 t) 1 2 4 2 4 16 解得 t1 0，t . 2 7
19、 16 所以 AB | t t | . 1 2 7 19【解析】（）因为 x cos , y sin ， C 的极坐标方程为 C 的极坐标方程为 cos 2 ， 1 2 2 2 cos 4 sin 4 0 （）将 = 代入 2 2 cos 4 sin 4 0 ，得 2 3 2 4 0 ， 4 解得 = 2 2 ， 1 = 2 ，|MN|= 2 1 = 2 ， 2 1 = 1 因为C 的半径为 1，则VC MN 的面积 2 1 sin 45o 2 2 2 2 C 的直角坐标方程为 x2 y2 2y 0 ，曲线 20【解析】（）曲线 C 的直角坐标方程为 2 3 2 2 x y 2y 0, x2
20、y2 2 3x 0 联立 x y 2 3x 0, 2 2 x 解得 y 0, 0, 或 x y 3 2 3 , 2 , 3 3 C 与C 交点的直角坐标为 (0, 0) 和 ( , ) 所以 2 1 2 2 9 （）曲线 C 的极坐标方程为 ( R, 0) ，其中0 1 因此 A 得到极坐标为 (2 sin , ) ， B 的极坐标为(2 3 cos , ) 所以 AB 2sin 2 3 cos 4 in( ) ， s 3 5 当 时， AB 取得最大值，最大值为 4 6 21【解析】 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 ，以极轴为 x 轴的正半轴，建 立直角坐标系 xoy 2 2 2 2
21、 2 sin cos 4 0 圆 C 的极坐标方程为 ， 2 2 化简，得 2 2 sin 2 cos 4 0 则圆 C 的直角坐标方程为 x2 y2 2x 2y 4 0 ， 即 x 1 y 1 6 ，所以圆 C 的半径为 6 2 2 22【解析】（）由 2 3 sin ,得 2 3 sin ， 2 2 从而有 x2 +y2 2 3y,所以 x2 + y 3 3 （）设 1 3 P(3+ t, t),又 C(0, 3) ， 2 2 2 2 1 3 2 则 2 2 ， 故当t =0 时，| PC |取最小值，此时 P 点的直角坐标为(3, 0) . x 2 cos . 23【解析】（I ）曲线
22、C 的参数方程为 为参数 ( ). y 3sin . 直线 的普通方程为2 5 分 l x y 6 0. （）曲线 C 上任意一点P(2cos .3sin ) 到 l的距离为 5 d 4 cos 3sin 6 . 5 10 d 2 5 4 则 其中 为锐角，且 PA 5 sin( ) 6 , tan . sin 30 5 3 22 5 当 sin(+ )=-1时，PA 取得最大值，最大值为 . 5 2 5 当 sin( ) 1时 ，PA 取得最小值，最小值为 . 5 24【解析】（I）C 的普通方程为 (x 1) y 1(0 y 1) 2 2 可得 C 的参数方程为 x t 1 cos , y
23、 sint, （t 为参数， 0 t x ） （）设 D (1 cost, sin t).由（I）知 C 是以 G（1,0）为圆心，1 为半径的上半圆。 因为 C 在点 D 处的切线与 t 垂直，所以直线 GD 与 t 的斜率相同，tant 3,t 3 ，即 (3 , 3) 故 D 的直角坐标为 (1 cos , sin ) 3 3 2 2 25【解析】将 4 5 cos x t y 5 5sint 消去参数t ，化为普通方程 (x 4)2 (y 5)2 25， 即 C ： x2 y2 8x 10y 16 0，将 1 x y cos sin 代入 x2 y2 8x 10y 16 0 得， 2
24、8 cos 10 sin 16 0， C 的极坐标方程为 2 8 cos 10 sin 16 0； 1 （） C 的普通方程为 x2 y2 2y 0 ， 2 由 2 2 x y 8x 10y 16 0 x y 2y 0 2 2 x 1 0 x 解得 或 ， y 1 y 2 C 与C 的交点的极坐标分别为( 2, 1 2 4 )，(2, ) 2 26【解析】（）由题意有 P 2 cos , 2sin ,Q 2cos 2 , 2sin 2 ,因此 M cos cos 2 , sin sin 2 11 x cos cos 2 , M 的轨迹的参数方程为 y sin sin 2 , （0 2 ） （）
25、 M 点到坐标原点的距离 d x2 y2 2 2 cos （ 0 2 ） 当 时， d 0 ，故 M 的轨迹过坐标原点 5 4 11 27【解析】（1）点 A, B,C, D 的极坐标为(2, ), (2, ), (2, ), (2, ) 3 6 3 6 点 A, B,C, D 的直角坐标为(1, 3),( 3,1), ( 1, 3), ( 3, 1) （2）设 x 0 P(x , y )；则 0 0 y 0 2cos 3sin ( ) 为参数 t PA PB PC PD 4x 4y 16 2 2 2 2 2 2 0 0 32 20sin2 32,52 x y 28【解析】（I）设 P(x, y) ，则由条件知 M( , 2 2 ).由于 M 点在C 上，所以 1 x 2 cos 2 y 2 2 sin 2 x 4 cos ，即 y 4 4sin 从而C 的参数方程为 2 x 4 cos y 4 4sin （ 为参数）， （）曲线C1 的极坐标方程为 4 sin ，曲线C 的极坐标方程为 8sin 2 射线 C 的交点 A 的极径为 与 1 4 sin ， 1 3 3 射线 C 的交点 B 的极径为 与 2 8sin 2 3 3 所以| AB | | 2 1 | 2 3 12
