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1、题型专项（八) 与切线有关的证明与计算类型1 与全等三角形有关 (梧州)如图，过O上的两点A，B分别作切线,交于BO,A的延长线于点C,，连接D，交O于点E,，过圆心O作OMCD,垂足为点M.求证：(）CBO;(2)CE=DF. 证明:(1)AC，BD分别是O的切线,A=90又BO，AOC=O，AOBD.(2）ABO,OCOD.又OC，CM=M.又O，点O是圆心,EM=FMCM=DM-FM.CE=F2(玉林模拟)如图，AB是的直径，AC=60，P是OB上一点，过P作AB的垂线与A的延长线交于点Q,过点C的切线D交P于点D，连接C.(1)求证:CDQ是等腰三角形;（2)如果CDQCB，求BPO的
2、值解：(1)证明:由已知得A90,AC30.Q=0，BC=AC30D是的切线,CO是半径，CDODCQ=BCO=30.DCQ.故CD是等腰三角形(2)设的半径为1,则AB=2,OC1，BC.等腰三角形DQ与等腰三角形OB全等,CQ=CB.A+CQ=+APQBPB-AP=.PO=AO=.BPO.3.(柳州)如图，AB为BC外接圆O的直径，点P是线段CA的延长线上一点,点E在弧上且满足P2=PAPC,连接CE,AE，O交CA于点D(1）求证：PA；(2）求证：P为O的切线；（3)若B=30，PAC,求证：OP.证明:（1)PE2PAC，=.又APEEPC，PAEPE.(2)PA,EPE.PCEAO
3、E,EA=AOE.OE，OA=EA.AEAOE=18，+2OEA180，即2PAOEA=18.PE+OE90.E为O的切线.(3)设的半径为r,则AB2r.B=0，PCB=90,Cr,r.过点O作OFA于点F,O=r.APAC,P.PE=AP，P=r.在与DE中,FPDE.O=类型与相似三角形有关4.(泰州)如图,在ABC中，ACB90，在D为AB上一点,以C为直径的O交B于点E,连接A交CD于点P，交O于点F，连接DF,EDF.()判断A与的位置关系,并阐明理由;(）若FPC1，AF=,求C的长.解:(1）A是O切线理由:AB=90,CECEA0.AEF，CF=EA,AD+F0.AB是O切线
4、()连接CF.AF+CDF=90，PF+DF90,ADFPCF.PFAC.又CPFPC,PCFPAC.=PC2PPA设Pa，则P=2.4a=a(+)=P2a=5(北海)如图，B,D为O的直径,弦ECD，连接BE交D于点,过点E作直线EP与CD的延长线交于点,使PEDC（1）求证：PE是O的切线；(2)求证:ED平分BE;（3)若O的半径为5,CF2EF,求P的长.解：(1)证明:连接OECD是圆O的直径,D=90.OC=OE，C=OEC.又PE,EDEC.EDOEOEC+ED90，即OP90.OEP.又点E在圆上,E是O的切线(2)证明:，CD为的直径，AEB=CED=90.AC=DB(同角的
5、余角相等).又PED=C,ACD,PED=DEB，即ED平分BEP.（）设EF=，则CF=2x的半径为,OF=2x在RtOEF中，O2EF2+OF，即522(x5)2，解得x=4，EF4.B=2E=8,CF2E=D-C=1082.AB为O的直径,AEB90.AB，=8,A=6BE=A，EFPAEB90，PAE.，即.PF=.PP-DF=2.6.(桂林)如图，ABC为O的内接三角形,P为BC延长线上一点,PAC=，A为O的直径，过点C作GD于点E，交B于点F，交O于点.()判断直线与O的位置关系,并阐明理由；()求证:AG2AFAB;(3)若O的直径为10，A2,AB=4，求AFG的面积.解:(
6、1)与O相切.理由：连接CD.AD为O的直径,ACD=9.DCAD90，PAC，PACD.C+CAD0，即APA.点在圆上，P与O相切.(2）证明:连接BGAD为O的直径,CGAD,AG=ABG.GAF=BAG,AAG.AGAB=FA.G2AFAB.(3）连接BD.AD是直径，D90AG2AA,AGAC=2，A4,F.CGAD,EFAB=0EABAD，AAD,即=，解得AE2.F=EG=4，FGG1=3.SAFG=FGAE323.类型3与锐角三角函数有关 7.(梧州)如图，已知O是以BC为直径的AC的外接圆，PAC，且与C的垂线交于点P，OP交A于点,BC,A的延长线交于点E.()求证:A是O
7、的切线；(2)若si=,PA=,求C的长.解:(1)证明:连接OACOP,AOP=OC，CA.O,OCAC.AOPBP.又B,OP=OP，ABOP.OP=BP.BPCB,OA=OB=90.OAPAPA是的切线()PBCB，PB是的切线.又A是O的切线,P=PB=6又sinE=,AO3.在RtOPB中,OP=3BC为O直径，B=90.CA=OP=0，OCABOPACB.=.8.(来宾)已知O是以B为直径的ABC的外接圆,ODB交于点D，交于点E,连接AD,BD，BD交AC于点.(1)求证：BD平分ABC;(2)延长AC到点P，使PFB，求证：PB是O的切线;（3)如果AB=1，cosABC=，求
8、A.解：(1）证明：ODBC，OB=CD.O=O,OBD=OBCBD=OD.平分ABC.(2）证明:是以AB为直径的ABC的外接圆，CB=.CB+CBF=0FP，PBF=CB.由()知OBDF，PBFB=9.OP=9P是O的切线.(3)在RtAB中,AC9,AB=10，cosABC.6，AC.ODBC,ABC，AED=OEC180-ACB=90=,=.AE4,E3DEODOE=53=AD=2.9.（柳州模拟)如图,已知：AC是的直径，PAAC，连接OP，弦OP，直线B交直线AC于点D，BD2PA.(1）证明:直线是的切线;(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；（3)求sOPA
9、的值.解:()证明：连接OB.BOP,OB=,BCOPOA，CBO=PO，BC=CPOA=POB又OP，OOA，POPOA.PB=PA90.PB是的切线.(2）3BC(写P=亦可)证明：POBPOA,PBPBD=P,BD=2B.BCPO，DBCDPO.=.2P=B.(3)CBOP，DDPO.=,即.OCOD.D2OC设OA,A.则O=3x，x,BD2y.在RtD中，由勾股定理得(3x)22(2y)2,即2=y2.x0，y,x,OP=x.sinPA=.类型4 与特殊四边形有关 10.(玉林）如图，AB是O的直径,点C，在圆上,且四边形AOCD是平行四边形，过点D作O的切线,分别交O延长线与O延长
10、线于点E,F，连接F(1)求证：B是O的切线；（2)已知圆的半径为1，求EF的长.解:(1)证明:连接OD.F为的切线,ODF90.四边形AOD为平行四边形，ODC，AOC又DOC=OA,DO=O=DC.DOC为等边三角形DOCODC0DCAO,OD=0BF0-D-AOD60.在DOF和BCF中，DOBOF.DFOB=90.BF是O的切线.（2)DOF=0，ODF=9，D=30.BF=60,BOF=CFD,EOFD=30.OF=OE又DF，DE=DF.在R中,OFD=3F=2D.F=.EF2DF211(宁波）如图，已知的直径AB=1,弦AC=6，BAC的平分线交O于点，过点作DC交AC的延长线于点.（1)求证：DE是O的切线;(2)求D的长解：()证明:连接OD.AD平分BC,DA=DAB.OAOD，OD
