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1、第四章 圆 与 方 程1. 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 设M（x,y）为A上任意一点，则圆的集合可以写作：P = M | |MA| = r 2、圆的方程（1）标准方程，圆心，半径为r； 点与圆的位置关系：当，点在圆外; 当=，点在圆上当，点在圆内; （2）一般方程 （x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4 （） 当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为 当时，表示一个点； 当时，方程不表示任何图形。（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一
2、般方程，需要求出D，E，F；直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线，圆，圆心到l的距离为 ，则有；（2） 过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k， 若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可； 若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，
3、则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 两圆的位置关系判断条件公切线条数外离1+24条外切1+23条相交|1-2|1+22条内切|1-2|1条内含|1-2|0条4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差的绝对值），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。（即几何法） 注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线5、.圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 联立圆C1的方程与圆C2的方程得到一个二元一次方程
4、若两圆相交，则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2公共弦所在的直线方程； 若两圆相切，则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2的公切线的方程； 若两圆外离，则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点向两个圆引切线， 得到的切线长相等（反之，亦成立）6、已知一直线与圆相交，求弦的长度 代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长 几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理） 代数法：直线方程与圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程；利用弦长公式 ： |1-2| （或者|y1-y2|）求解7、已知两圆相交，求公共弦的长度代数法：联立两圆的方程求出
5、交点坐标；利用两点间的距离公式求弦长代数法：联立两圆的方程求出公共弦所在直线的方程（设公共弦的端点分别为A、B）；公共弦直线方程 与任一圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程；利用弦长公式 ：|1-2| （或者|y1-y2|）求解几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）几何法：根据图像求解（两个直角三角形，两个未知数，解二元一次方程组）8、圆系与圆系方程 (1) 圆系:具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。 (2) 圆系方程：（一）.圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 圆系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+
6、(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (-1) - （）若圆 C1与圆C2交于P1、P2点，那么，方程（）代表过P1、P2两点的圆的方程。若圆 C1与圆C2交于点（一个点），则方程（）代表与圆1 、圆2相切于点的圆的方程。（二）.直线：+0与圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0相交或相切则过它们的交点的圆系方程为：x2+y2+Dx+Ey+F+（+）09、直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论轴对称例1
7、、已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L：y=3x-1上找一点P，求使|PA|-|PB|最大时P的坐标。 解：如图，设点C(x,y)是点B关于直线L对称点，则由， ，得：直线BC的方程为：，将其与直线y=3x-1联立，解得：D,其中D为BC中点，利用中点坐标公式，得C（3,3）。显然：|PA|-|PB|PA|-|PC|AC|,当且仅当A、C、P三点共线时，|PA|-|PB|最大。可求得：直线AC方程为：，与L方程联立解得P的坐标为（2,5）。例2、光线由点C（3，3）出发射到直线L：y=3x-1上，已知其被直线L反射后经过点A(4,1)，求反射光线方程。解：设点B是点C关于L的对称点，则由
8、光线反射的知识易知：点B在反射光线上，故所求的反射光线的方程即为直线AB所在的直线方程。由例1知点C关于L的对称点为B（0,4），故直线AB的方程易求得为：。它即为反射光线方程。直线和圆1自点（3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆相切，求光线L所在直线方程解：已知圆的标准方程是(x2)2(y2)21，它关于x轴的对称圆的方程是(x2)2(y2)21。设光线L所在直线方程是：y3k(x3)。 由题设知对称圆的圆心C（2，2）到这条直线的距离等于1，即整理得 解得故所求的直线方程是，或， 即3x4y30，或4x3y302已知圆C：，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C
9、截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线L的方程，若不存在说明理由（14分）解：圆C化成标准方程为:假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）由于CML，kCMkL=1 kCM=，即a+b+1=0，得b= a1 直线L的方程为yb=x，即xy+ba=0 CM=以AB为直径的圆M过原点， ， 把代入得，当此时直线L的方程为：xy4=0；当此时直线L的方程为：xy+1=0 故这样的直线L是存在的，方程为xy4=0 或xy+1=04已知圆C:及直线. （1）证明:不论取什么实数,直线与圆C恒相交；（2）求直线与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线的方程解:(1)直线方程,可以改写为,所
10、以直线必经过直线的交点.由方程组解得即两直线的交点为A 又因为点与圆心的距离,所以该点在内,故不论取什么实数,直线与圆C恒相交. (2)连接,过作的垂线,此时的直线与圆相交于、.为直线被圆所截 得的最短弦长.此时,.即最短弦长为. 又直线的斜率,所以直线的斜率为2.此时直线方程 为:5（12分）已知圆x2+y2+x6y+m=0和直线x+2y3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值解：由 又OPOQ， x1x2+y1y2=0,而x1x2=96(y1+y2)+4y1y2= 解得m=36.已知圆C：(x+4)2+y2=4和点A(-2，0)，圆D的圆心在y轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D与y 轴交于点M、N. MAN是否为定值？若为定值，求出MAN的弧度数；若不为定值，说明理由.【解】设圆D的方程为那么 因为圆D与圆C外切, 所以 又直线的斜率分别为 为定值 夹角问题 例5 (06全国卷一文) 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )(A) (B) (C) (D) 0解 已知圆化为，即得圆心和半径.设由向这个圆作的两条切线的夹角为，则在切线长、半径和构成的直角三角形中，故选(B).点评：处理两切线夹角问题的方法是：先在切线长、半径和所构成的直角三角形中求得的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角问题.
