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1、平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.有向线段的三要素：起点、方向、长度.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量.相反向量：a b b a a b 0向量表示：几何表示法 AB ;字母a表示；坐标表示：a=xi + yj =（x, y）.向量的模:uur ruirrr设OA a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|.r.飞 r2 r 2 22（|a| x y ,a |a| x y。）零向量：长度为0的向量。a = O | a|= O
2、.【例题】i.下列命题：（i）若a b,则a b。（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点uuu uuir相同，终点相同。（3）若AB DC ,则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则niu nurr r r r r rr r r r r rAB DC。（5）若 a b,b c，则 a c。（6）若 a/b,b/c，则 a/c。其中正确的是 r ruu r2.已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|a 3b | = 2、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相接连端点.平行四边形法则的特点：起点相同连对角.三角形不等式：|a b| a b ia b.运算性质：交换律：
3、abba ；结合律：ar r r r r a 00 a a .(5)坐标运算：设 a x1,y1 ， b3、向量减法运算：r b ra 则y2X2,y2%卷Cr r mu lur uuuf a b CC三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.坐标运算：设aX1,y2r bray1X1y2uuu设、 两点的坐标分别为 咅，x2,y2，贝Ux x2,y1 y2【例题】(1)uuuABuuu uuuBC CD；uuu unr AB ADuuirDCuuuuuuuuirunr(ABCD)(ACBD)若正方uuur uuur unrrr r r(2)形 ABCD的边长为1，ABa,BCb,
4、AC c，则 | a b c | =4、向量数乘运算：实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a. I a 11| a ； 当o时，a的方向与a的方向相同；当o时，a的方向与a的方向相反；当o时，a o.运算律：a a : aaa :a b a b.坐标运算：设a x, y，贝U a x, y x, y .1【例题】(1)若M (-3, -2)，N (6, -1)，且MP - MN，则点P的坐标为35、向量共线定理：向量a aaX1,%，bX2,y2 ，(b0) (a b)2 (|a|b|)2。【例题】(1)若向量a(x,1),b(4, x)，当 x时a与b共线且方向相同(2)已知
5、 a (1,1),b(4, x)， u a 2b，v 2a b，且 u/v，贝U x =6、向量垂直：a0 |a b| |a与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b a 设，卄-uuuuuu工uun uun 【例题】已知OA ( 1,2),0B(3,m)，若OA OB，则(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB , B 90，则点B的坐标是,M rr ur .ru.u(3)已知n (a,b),向量n m，且n m，则m的坐标是7、平面向量的数量积：r aoo r or o80性质：设a和b都是非零向量，则a b a b 0 .当a与b同向时，a b ab ； 当 a与b反向
6、时，ab iai|b|； a a a2 a2或a 曲.a b碉.运算律：abba :a b a b a b :abcacbc.坐标运算：设两个非零向量a 为，b x2, y2，则a b x2 y1y2.若 a x, y，贝u a $ x2 y2，或 a 贋_y.、rr设a x ,y1 ， b x2,y2 ，贝U a丄b ab = 0 X1x2 + w = 0.则 a/b a= Zb(bHO) xy = X20.ra设b都是非零向量y2X2, r by1X1,ra是a与b的夹角，贝urbrbra ray2 y1 X2 %【例题】(1)KBC中，| AB| 3，| AC | 4，| BC | 5，
7、贝U AB BC r 1 rirrrurrru(2) 已知a(1-),b (0,-),c akb,da b， c与d的夹角为一，则k等于224rr r rr r(3) 已知 a2, b 5,ago 3，贝Ua b等于(4) 已知a,b是两个非零向量，且a b a b，则a与a b的夹角为的取值范围是(5) 已知a ( ,2 )，b (3 ,2)，如果a与b的夹角为锐角，则(6) 已知向量 a =( sinx，cosx) , b =(sinx，sinx) , c =( 1，0)。(1) 若 x =一，3求向量a、c的夹角;8、b在a上的投影：即|b|cos，它是一个实数，但不一定大于 0则向量a
8、在向量b上的投影为【例题】已知|a | 3，|b| 5，且a b 12，9、（必修五的内容）正弦定理（其中R表示三角形的外接圆半径）(1)b J 2R sin A sin B sin C(2) a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(3) si nA ,si n AB ,si nC ,2R2R2R余弦定理附:c2c2c2附:(1)(2)(3)b2 = a2 c2 2 ac cos B.2 2 2b c a cos A -2bc11S a ha : S -bcsin A22ABC的判定:a2 b2ABC为直角2 2 a2 b2ABC 为锐角2 .2 2证明：cosC占absin21
9、acsin B ；2 ，ZA + ZB =_2从 + ZB -，在钝角AABC中,2 2cosC 0 a b2小2.22c 0 a b c在ZVKBC中，有下列等式成立tanA tan BtanCtan Atan B tanC .证明：因为A B C,所以tan A B tan所以 tan A tan B1 tan AtanBtanC， 结论!三角形的四个“心”；重心：三角形三条中线交点外心：三角形三边垂直平分线相交于一点内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点非零向量a与方向上的单位向量练习题:、平面向量的概念及其运算1、若向量a、b满足a b a b ,则a与
10、b必须满足的条件为2、若 Ab b, AC c ,贝U bc 等于()A.3、正六边形ABCDE中,BA CD EF (A.BECDCF4、在边长为1的正方形ABCD中，设 AB a, AD b, ACc，则5、在 ABC中,已知BC3BD，贝U AD等于（）A.-(AC 2AB)3.-(AB 2AC)31 C . -(AC 3AB)4i (AC 42AB)6、在 ABC中,E、F分别是AB和AC的中点，若AB a, AC b，则EF等于（A.2(a b).2(a b)1C . (ba)27、已知：向量a,b同向，且a 3,b7，则2a、平面向量的基本定理及坐标表示8、若 AB 3e1, CD
11、5e1 , . 且 |ad| |bc| ，则四边形ABCD1CA .是平行四边形B .菱形.等腰梯形.不等腰梯形9、已知 A( 2,4), B(3,1),C( 3, 4)且 CM 3CA,Cn 2CB，试求点 M、和MN的坐标10、已知向量a ( 3, 4)，则与a同向的单位向量是(a- ( I， 5)3 4B (-，-)C ( 3, 4)D (3,4)5 511、已知A( 3,2), AB (8,0)，则线段AB中点的坐标是 12、若三点 P(1,1),A(2, 4),B(x, 9)共线，求 x13、若向量a (x 3,x2 3x 4)与Ab相等地，已知A( 1,2), B(1,2)，则x的
12、值为()A. -1 B . -1 或-4 C . 4 D . 1 或 4三、平面向量的数量积14、已知，a 2,b3,a b 3、3，则a与b的夹角等于 15、已知ABCD为菱形，则(AB BC) (AB AD)的值为16、已知b 5，且a b 12，则向量a在b方向上的投影为 17、已知向量a与b的夹角为120o，且a 4,b 2，(1) 求a在b方向上的投影(2) 求 3a 4b(3) 若向量a kb与5a b垂直，求实数k的值18、已知 a、b 满足 a 1, b 1 且(a b)2 3，则 a b 19、 若a b| |a b，且a与b不共线，则a与b的夹角为20、 已知a ( 2,
13、1),b ( ,1)，若a与b的夹角为钝角，贝U的取值范围是()1 1 1A. ( 2,2)(2,)B. (2,)C . ( ,)D .(,-)21、已知a (6,0), b ( 5,5)，则a与b的夹角为22、已知A(3,2),B( 1, 1)，若点P(x,中)在线段AB的中垂线上，贝U x= 平面向量高考经典试题、选择题1、已知向量a(5,6) , b (6,5)，贝U a 与 b2、A .垂直B .不垂直也不平行C.平行且同向平行且反向已知向量a(1, n), b (1, n)，若 2ab与b垂直，则a (3、若向量a,b满足|；| |b| 1 ,C. 2r r r ra,b的夹角为60 贝U a a a b =4、UUITLULT UULT在厶ABC中，已知D是AB边上一点，若 AD 2DB,CD1 urnCA3，则 ()
