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1、5.6二阶电路的零输入响应5.6.1二阶电路的初始条件初始条件在二阶电路的分析进程中起着决定性作用，确定初始条件时，必须注意以下几 个方面。第一，在分析电路时，要始终仔细考虑电容两端电压uc的极性和流过电感电流七的方 向；第二，电容上的电压总是连续的，即u （0 ） = u （0 ）（5-31）C + C -流过电感的电流也总是连续的，即u （0 ） = i （0 ）（5-32）L + L -确定初始条件时，首先要用（5-31）和（5-32）式确定没有突变的电路电流，电容电压 和电感电流的初始值。5.6.2 R L C串联电路的零输入响应如图5-37所示为RLC串联电路。开关S闭合前，电容已经
2、充电，且电容的电压uC = U0， 电感中储存有电场能，且初始电流为/0当t = 0时，开关S闭合，电容将通过R放电，其 中一部分被电阻消耗，另一部分被电感以磁场能的形式储存，之后磁场能有通过R转换成电 场能，如此反复；同样，也有可能先是由电感储存的磁场能转换成电场能，并如此反复，当 然也可能不存在能量的反复转换。C+uL图5-37 RLC串联电路的零输入响应由图5-37所示参考方向，据KVL可得u + u + u = 0且有i = -CuC，u = Ri = RCc，u = L当=L-c。将其代入上式得C dt Rdt L dt dtLCc + RC 虬 + u = 0dt 2dt C式（5
3、-33）是RLC串联电路放电过程以uc为变量的微分方程，为一个线性常系数二阶微分 方程。如果以电流i作为变量，则RLC串联电路的微分方程为LC、+ RC 四 + i = 0(5-34)dt 2 dt在此，仅以uC为变量进行分析，令UC = Aept，并代入(5-33),得到其对应的特征方程LCp 2 + RCp +1 = 0求解上式，得到特征根为D_ RR )21P =_ +一1 2 L 队 2 L)LC (5-35)R ( R )21P = . I 2 2 L 住 2 L) LC因此，电容电压勾用两特征根表示如下:u = A ep1t + A ep21（5-36）从式（5-35）可以看出，特
4、征根pi、p2仅与电路的参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。pi、p2又称为固有频率，单位为奈培每秒（Np/s），它与电路的自然响应函数有关。根据换路定则，可以确定方程（5-33）的初始条件为u（0）= u（0）= U，+ C 0，八、 ，八、一 du_du Ii（0 ） = i（0 ） = 1，又因为i = CC，所以有C= -0。将初始条件和式（5-36）+-0C dtdt C联立可得（5-37）首先讨论有已经充电的电容向电阻电感放电的性质，即U0。0且10 = 0。有A =1A =2p U 20 p p 21pU10p2 p1（5-38）将A】、气的表达式代入（5-36）式即可得到R
5、LC串联电路的零输入响应，但特征根4、奈培是一个无量纲单位，以奈培（John Napier,英格兰数学家）的名字命名。（5-39）（5-40）r di u = L=dtU (0 p ep1tP2 P1-p ep 21)（5-41）P2与电路的参数R、L、C有关，根据二次方程根的判别式可知P1、P2只有三种可能情况， 下面对这三种情况分别讨论1. R 2 L，过阻尼情况C在此情况下，p、P2为两个不相等的实数，电容电压可表示为u - o p eP1t - p eP21）C p - p 21根据电压电流的关系，可以求出电路的其他响应为._ du CU p p ()i = -C c = 012 ep
6、1t epj /dt p - pU0 (eP1t 一 eP2t )L(P2 - P1)其中利用七=土的关系。由于P1 P2，因此t 0时p 0。所以t 0时uP2 - P1C一直为正。从（5-40）可以看出，Pe-pit ep2t，且2P2 - P1当t 0时，i也一直为正，但是进一步分析可知，当t = 0时，1（。+） = 0，当t T8时，i（8） = 0，这表明i（t）将出现极值，可以求一阶导数得到，p ep1t - p ep21 = 0maxP2-P1P1其中tmax为电流达到最大的时刻。uc、i、uL的波形如图5-38所示。图5-38过阻尼放电过程中uc、，、uL的波形从图5-38可
7、以看出，电容在整个过程中一直在释放储的电能，称之为非振荡放电，有叫做过阻尼放电。当t tm时，电感释放能量，磁场衰减，趋向消失。当t = tm时，电感电压过零点。L2. R 2 -，欠阻尼情况 cL当R 2： c时，特征根p 1、p 2是一对共轭复数，即= -a + j=a 一 沁（5-42）k . 1( R )2 人1 2L LC LC)k . n( R 2JJ2L 、LC LC J其中：a =R 称之为振荡电路的衰减系数；LCn（ r 2 3=4奇；- 称之为振荡电路的衰减角频率。LC k 2 L J1、一=称之为无阻尼自由振荡角频率，或浮振角频率。0 、：LC显然有32 =a2 +32，
8、令0 = arctan 一0-，则有 a =3。cos 0，3=3。sin0，如图 5-39所示。3a根据欧拉公式可得图5-39a, 0,少，少之间的关系ej = cos 0 + j sin 0e- j。= cos 0 一 j sin 0(5-43)p = -w e j0，p = - ej01020U (所以有u =o卬 epj - p ep21C p - p 21二二Lw e，0e(-a+j赢 +w e，0e(-a-3-j2woo=组 e-atwe j(wt+0) e - j(wt+0)j根据式（5-40），= oWo e-at sin(wt + 0) w(5-41)可知. Ui = a e
9、-at sin(wt)wLUwu = -w-oe-a sin(wt -0)(544)(5-45)（5-46）从上述情况分析可以看出，U、1、u L的波形呈振荡衰减状态。在衰减过程中，两种储能元件相互交换能量，如表5-2所示。U、1、l形如图5-40所示。图5-40欠阻尼情况下C、1、uL的波形表5-2o wt 0o wt兀-0兀一0 2、，7，非振汤充电过程 c电路响应表示为u =L (p ep1t - pep 21) + Uc p p 21Si =-s(ep1t ep t)L( pi p2)U (、u =s (p epj p ep21)1P 2其中pi、p 2为特征根，表达式与（5-35）式相同。u、i和u的波形如图5-48所示，l图5-48 uL、i和uc的波形图其中tm axlnt ，是电感电压过零点，也是电流i达到最大值的时刻。 p1，m axL2. R 0时，开关S断开。C -L -根据KCL有i + i + i = iL
