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1、北京市西城区2011年高三一模试卷 数 学（文科）2011. 4第卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集，集合，则等于（A）（B）（C）（D）2. 函数的定义域是（A）（B）（C）（D）3.为了得到函数的图像，只需把的图象上所有的点（A）向左平移个单位长度（B）向右平移个单位长度（C）向左平移个单位长度（D）向右平移个单位长度4. 设，则（A）（B）（C）（D）正(主)视图俯视图侧(左)视图3443335一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是 （A）（B）（C）（D）6对于平面和异面直线，
2、下列命题中真命题是（A）存在平面，使，（B）存在平面，使，（C）存在平面，满足，（D）存在平面，满足，甲89980123379乙7. 右面茎叶图表示的是甲、乙两人在次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（A）（B）（C）（D）8某次测试成绩满分为150分，设名学生的得分分别为（，），（）为名学生中得分至少为分的人数.记为名学生的平均成绩.则（A） （B）（C） （D）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 若复数是纯虚数，则实数等于_.10.设向量，若，则_.11.双曲线的离心率为_；若椭圆与双曲线有相同的焦点，则_.12. 设不等式组
3、表示的区域为,圆及其内部区域记为.若向区域内投入一点，则该点落在区域内的概率为_.13. 阅读右侧程序框图，则输出的数据为_.14. 已知数列的各项均为正整数，为其前项和，对于，有，当时，的最小值为_；当时，_.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）设的内角，所对的边长分别为，且,.（）当时，求的值；（）当的面积为时，求的值.ABCDFE16. （本小题满分13分）如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，.()求证：平面；()求证：平面；（）求四面体的体积.17. （本小题满分13分）已知是公比为的等比数列，且.（）求的值
4、；（）设是首项为，公差为的等差数列，其前项和为. 当时，试比较与的大小.18. （本小题满分14分）已知函数.（）求函数的极值点；（）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程；（）设函数，其中，求函数在区间上的最小值.（其中为自然对数的底数）19.（本小题满分14分）已知抛物线的焦点为，直线过点.（）若点到直线的距离为，求直线的斜率；（）设为抛物线上两点，且不与轴重合，若线段的垂直平分线恰过点，求证：线段中点的横坐标为定值.20.（本小题满分13分）将这个数随机排成一列，得到的一列数称为的一个排列.定义为排列的波动强度.（）当时，写出排列的所有可能情况及所对应的波动强度；（）当时，求的最大值，
5、并指出所对应的一个排列；（）当时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波动强度不增加，问对任意排列，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出反例并加以说明.北京市西城区2011年高三一模试卷参考答案及评分标准数学（文科） 2011.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号12345678答案BACDBDCA二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 10. 11.， 12. 13. 14. ，注：11题，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同
6、，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分）解：（）因为，所以 . 2分由正弦定理，可得. 4分所以. 6分（）因为的面积，所以，. 8分由余弦定理， 9分得，即. 10分所以， 12分ABCGFEDO所以，. 13分16.（本小题满分13分）()证明：因为平面平面，所以平面，2分 所以.3分因为是正方形，所以，所以平面. 4分()证明：设，取中点，连结，所以，. 5分因为，所以，6分从而四边形是平行四边形，. 7分因为平面,平面, 8分所以平面，即平面. 9分（）解：因为平面平面，,所以平面. 11分因为,，所以的面积为， 12分所以四面体的体积. 13分17.（本小题满分13分
7、）解：（）由已知可得， 2分因为是等比数列，所以. 3分解得或. 5分（）当时， 7分所以，当时，.即当时，. 8分当时， 9分， 10分， 12分所以，当时，；当时，；当时，.13分综上，当时，.当时，若，；若，；若，.18.（本小题满分14分）解：（）， 2分由得， 3分所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 4分所以，是函数的极小值点，极大值点不存在. 5分（）设切点坐标为，则， 6分切线的斜率为，所以， 7分解得， 8分所以直线的方程为. 9分（），则， 10分解，得，所以，在区间上，为递减函数，在区间上，为递增函数. 11分当，即时，在区间上，为递增函数，所以最小值为. 12分当
8、，即时，的最小值为. 13分当，即时，在区间上，为递减函数，所以最小值为. 14分 综上，当时，最小值为；当时，的最小值；当时，的最小值为.19.（本小题满分14分）解：（）由已知，不合题意.设直线的方程为，由已知，抛物线的焦点坐标为， 1分因为点到直线的距离为，所以， 3分解得，所以直线的斜率为 . 5分（）设线段中点的坐标为，因为不垂直于轴，则直线的斜率为，直线的斜率为， 7分直线的方程为， 8分联立方程 消去得， 10分所以， 11分因为为中点，所以，即， 13分所以.即线段中点的横坐标为定值. 14分20. （本小题满分13分）解：（）时，排列的所有可能为；.2分；. 4分（）上式转化为，在上述个中，有个选正号，个选负号，其中出现一次，各出现两次. 6分所以可以表示为个数的和减去个数的和的形式，若使最大，应使第一个和最大，第二个和最小.所以最大为：. 8分所对应的一个排列为：.（其他正确的排列同等给分） 9分（）不可以.例如排列，除调整外，其它调整都将使波动强度增加，调整波动强度不变. 11分所以只能将排列调整为排列.对于排列，仍然是除调整外，其它调整都将使波动强度增加，所以仍只能调整两个数字.如此不断循环下去，不可能经过有限次调整使其波动强度降为. 13分
