13度量空间地可分性与完备性

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1、1.3度量空间的可分性与完备性在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R的可分性同时，实数空间R还具有完备性，即R中任何基本列必收敛于某实数现在我们将这些概念推广到一般度量空间.1.3.1度量空间的可分性定义1.3.1设X是度量空间，A,BX,如果B中任意点xB的任何邻域0(x,)都含有A的点，则称A在B中稠密.若AB，通常称A是B的稠密子集.注1:A在B中稠密并不意味着有AB.例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密.无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数.定理1.3.1设

2、(X,d)是度量空间，下列命题等价：(1) A在B中稠密；xB,XnA，使得limd(Xn，x)0;nBA(其中AaIJa,A为A的闭包，A为A的导集(聚点集)；任取0,有BO(x,).即由以A中每一点为中心为半径的开球组成的集合覆盖B.证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得.定理1.3.2稠密集的传递性设X是度量空间，A,B,CX，若A在B中稠密，B在C中稠密，则A在C中稠密.bBA，于是证明由定理1.1知BA,CB，而B是包含B的最小闭集，所以有CA，即A在C中稠密.口注2：利用维尔特拉斯定理可证得定理(Weierstrass多项式逼近定理)闭区间a,b上的每一个连续函数都可以表示成某一多

3、项式序列的一致收敛极限.(1)多项式函数集Pa,b在连续函数空间Ca,b中稠密.参考其它资料可知：连续函数空间Ca,b在有界可测函数集Ba,b中稠密.有界可测函数集Ba,b在p次幕可积函数空间Lpa,b中稠密(1p).利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：连续函数空间Ca,b在p次幕可积函数空间Lpa,b中稠密(1p).因此有Pa,bCa,bBa,bLpa,b.定义1.3.2设X是度量空间，AX，如果存在点列&A，且xn在A中稠密，则称A是可分点集(或称可析点集).当X本身是可分点集时，称X是可分的度量空间.注3:X是可分的度量空间是指在X中存在一个稠密的可列子集.例1.3.1欧氏空间Rn是可

5、即rkx(k),例1.3.2具有有理系数的多项式的全体Ra,b在d(rk,x)从而知Qn在Rn中稠密口连续函数空间Ca,b是可分的.由Weierstrass多项式逼近定理知，x(t)可Ca,b中稠密，而Ra,b是可列集.证明显然Ra,b是可列集.x(t)表示成一致收敛的多项式的极限，即Ca,b,0,存在(实系数)多项式p(t)，使得d(x,p)max1x(t)另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式p(t)|2p)(t)Pa,b，使得P0(t)|-2因此，d(x,p)d(x,p)d(p,p)，即p(t)O(x,)，在Ca,b中任意点x(t)的任意邻域必有Poa,b中的点，按照定义知P

6、oa,b在Ca,b中稠密.口例1.3.3p次幕可积函数空间Lpa,b是可分的.证明由于Ra,b在Ca,b中稠密，又知Ca,b在Lpa,b中稠密，便可知可数集Ra,b在Lpa,b中稠密.口例1.3.4p次幕可和的数列空间lp是可分的.d(p,Po)max|p(t)atb证明取Eo(1,2,|片,0,川,0,|)山Q,nN，显然Eo等价于Qn，可知Eo可数,F面证Eo在lP中稠密.，因此0,NN，当nN时,又因Q在R中稠密，对每个x(1ilxri|p于是得p|Xi|nN1)，存在rp2N，(iQ，使得Nlxi11|Xii|p)T1令x(,|出,0,川,0,|)Eo，则Nd(xo,x)(|Xi1(x

7、,d。)是不可分的.因此Eo在Ip中稠密.口例1.3.5设X0,1，则离散度量空间证明假设(X,d。)是可分的，则必有可列子集XnX在X中稠密.又知X不是可列集,1所以存在X*X,X*Xn.取2，则有O(x*,)*1xd0(x,x)一x2即O(X*,)中不含Xn中的点，与Xn在X中稠密相矛盾.口思考题：离散度量空间(x,d。)可分的充要条件为X是可列集.注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如(0.625)10=(0.101)20.6252=1.25取1;0.252=0.50取0;0.5二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为加上0.25(1/4)，第

9、，所以A与0,1对应，故A不可列.假设I可分，即存在一个可列稠密子集A0，以人中每一点为心，以1为半径作开球，所3有这样的开球覆盖I，也覆盖A.因A0可列，而A不可列，则必有某开球含有A的不同的点,设x与y是这样的点，此开球中心为X。，于是1121d(x,y)d(x,xo)dgy)333矛盾，因此I不可分.口1.3.2度量空间的完备性实数空间R中任何基本列(Cauchy列)必收敛.即基本列和收敛列在R中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间.定义1.3.3基本列设xn是度量空间X中的一个点列，若对任意0,存在N，当m,nN时，有d(xm,xn)则称xn是X中的一个基本列(或Cauchy列

10、).定理1.3.3(基本列的性质)设(X,d)是度量空间，则(1) 如果点列g收敛，则焉是基本列；(2) 如果点列g是基本列，则xn有界；(3) 若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点.证明(1)设人X,xX，且X.X.则0,NN,当门N时，叽刈7从而n,mN时，d(Xn,Xm)d(Xn,X)d(X,Xm)22.即得X.是基本列.(2)设Xn为一基本列，则对1，存在N,当nN时,有d(xN仆人)1，记Mmaxd(X1,XN1),d(x2,XN1),|,d(XN,XN1),11，那么对任意的m,n，均有d(Xn,xm)d(Xn,XN1)d(Xm,XN1)MM2M,即Xn有

11、界.(3)设%为一基本列,且Xnk是Xn的收敛子列，XnkX(k).于是，0,N1N,当m,nM时,d(Xn,Xm)-；N2N，当kN2时，dX-X)-.取NmaxN1,N2，则当nN,kN时，nkkN，从而有d(Xn,X)d(Xn,Xnk)d(Xnk,X)22，故Xnx(n).口注4:上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列(Cauchy列)，那么基本列是收敛列吗？例1.3.7设X(0,1),x,yX，定义d(x,y)xy,那么度量空间(X,d)的点列Xn丄是X的基本列，却不是X的收敛列.证明对于任意的0,存在NN，使得N-，那么对于mNa及nNb，其中a,bN，有d(Xn，Xm)XXmab

12、(Na1)(Nb1)maxa,b(Na1)(Nb1)ab1_NaNbIN或者利用X.即得xJ是基本列显然0X，故Xn不是X的收敛列.丄是R上的基本列，可知n1NN，当n,mN时有于是可知Xn也是X上的基本列.口如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限，就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢？是完备的度量空间.定义1.3.4完备性如果度量空间X中的任何基本列都在X中收敛，则称X是完备的度量空间.例1.3.8n维欧氏空间Rn是完备的度量空间.证明由Rn中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及R的完备性易得.口例1.3.9连续函数空间Ca,b是完备的度量空间.(距离

13、的定义：d(f,g)max|f(t)g(t)i)证明设xn是Ca,b中的基本列，即任给0,存在N，当m,nN时，d(Xm,Xn)即严帑Xm(t)Xn(t)故对所有的ta,b,Xm(t)Xn(t)，由一致收敛的Cauchy准则，知存在连续函数x(t)，使Xn(t)在a,b上一致收敛于x(t)，即d(Xm,x)0(n),且xCa,b.因此Ca,b完备.口1例1.3.10设XC0,1,f(t),g(t)X，定义d1(f,g)|f(t)g(t)dt，那么(X,dJ不是完备的度量空间.(注意到例1.3.9结论(X,d)完备)证明设00t121111fn(t)n(t)t222n111t12nfn(t)C0

14、,1的图形如图1.3.1所示.显然fn(t)C0,1,n1,2,3,川.因为d1(fm,fn)是下面右图中的三角形面积，所以0,Ndi(f,g)0|f(t)g(t)|dt下，C0,1却不完备由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同一个元素的无限重复组成的点列，所以它是完备的.我们还可以证明p次幕可和的数列空间lp，当m,nN时，有111dl(fm,fn)2nm图1.3.1fn(t)C0,1图像及有关积分示意图于是fn是X的基本列下面证fn在X中不收敛若存在f(t)X，使得d1(fn,f)0(n)1由于ddfn,f)0|fn(t)f(t)|dt1f(t)|dt111Ifn(t)f(t)Idt111|1f(t)|dt,显然上式右边的三个积分均非负，因此d(fn,f)0时，每个积分均趋于零推得f(t)0t0,；1tG,1可见f(t)不连续，故fn在X中不收敛，即C0,1在距离d下不完备.口以及Lpa,b中稠密，可知闭

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