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1、3.1函数与方程导学案 学习目标 1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2. 掌握零点存在的判定条件.3. 结合二次函数图象的性质，简单介绍一元二次方程 实根分布的等价条件及运用。4. 理解二分法求方程近似解的实质5.通过二分法求方程的近似解，感知数形结合法的重要性及直观性教学重点：1.方程的根与函数的零点的关系。2.一元二次方程实根分布及其简单运用3.理解二分法求方程近似解的实质4.通过二分法求方程的近似解，感知数形结合法的重要性及直观性教学难点：1.求函数零点的个数问题。2.一元二次方程实根分布及其简单运用3.理解二分法求方程近似
2、解的实质 学习过程 任务一、课前准备（预习教材P86 P88，找出疑惑之处）复习1：一元二次方程+bx+c=0 (a0)的解法.判别式= .当 0，方程有两根，为 ；当 0，方程有一根，为 ；当 0，方程无实数.复习2：方程+bx+c=0 (a0)的根与二次函数y=ax+bx+c (a0)的图象之间有什么关系？判别式一元二次方程二次函数图象任务二、新课导学探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题：(1)方程的解为 ，函数的图象与x轴有 个交点，坐标为 . (2)方程的解为 ，函数的图象与x轴有 个交点，坐标为 / .(3)方程的解为 ，函数的图象与x轴有 个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得
3、到：一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的 .你能将结论进一步推广到吗？新知：一、零点的概念：对于函数，我们把使的实数x叫做函数的零点（zero point）.反思：函数的零点、方程的实数根、函数 的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系？试一试：（1）函数的零点为 ； （2）函数的零点为 .小结：方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点.探究任务二：零点存在性定理问题： 作出的图象，求的值，观察和的符号 观察下面函数的图象，在区间上 零点； 0；在区间上 零点； 0；在区间上 零点； 0.新知：二、零点的存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0，那么，
4、函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根.讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析.思考 1 方程有实数根，函数的图象与轴有交点，函数有零点三者之间有 什么联系？2 求函数的零点的方法？即求方程的实数根；例1 判断下列函数是否有零点.(1) f (x)=3- x-1，0(2) x练1 、方程必有一个根的区间是（ ） 练2、 y=与y=（）的图像交点为（x,y）则x所在区间是（ ） A (0,1) B(1,2) C ( 2,3) D ( 3,4)练3、当 时，函数在区间上存在零点（给出一个实数值即可）例2（1）若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，
5、且当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是.()A多于4个 B4个 C3个D2个（2）f(x)的零点个数为 () A0B1C2D3练4、（1）方程在实数解的个数 （ ） A、0 B、1 C、2 D、3（2）若函数yf(x)在R上递增，则函数yf(x)的零点 ()A至少有一个 B至多有一个 C有且只有一个 D可能有无数练5函数的零点个数为 练6、判断下列函数零点的个数.（1） f(x)=- （2）f(x)=e+4x-4 （3） f(x)=lnx+x-2 三、一元二次方程根的分布 思考归纳设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的
6、分布情况见下面各表表一：（两根与的大小比较）分布情况两根都小于即两根都大于即一个根小于，一个大于即大致图象（）得出的结论表二：（根在区间上的分布）分布情况两根都在内两根有且仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种）一根在内，另一根在内，大致图象（）得出的结论或例3、求实数的范围，使关于的方程的两根情况如下：(1)两个负根；(2)两根都小于1；(3)两根都大于1 ；(4)一个根大于1，一个根小于1；(5)两个根都在（0,2）内 ；(6)两个根有且仅有一个在（0 ,2）内；(7)一个根在（-2 ,0）内，另一个根在（1 ,3）内.练7、若方程的两个根，都小于-1，求的取值范围.练8、已知关于的方程
7、有两个实根，其中一根在(0，1)之间，另一根在(-1，0)之间，求实数的取值范围.练9、若方程在（0，1）内恰有一解，求的取值范围. 四、用二分法求方程的近似解1函数零点存在定理:如果函数在区间上的图象是_的一条曲线,并且有_,那么,函数在区间内有零点,即存在_使得,这个也就是方程的_.2一般地,我们把_称为区间的中点3对于在区间上_且_的函数,通过不断地把函数的零点所在 的区间_,使区间的两个端点_零点,进而得到零点_的方法叫做二分法.给定精确度,用二分法求函数零点近似值的步骤是:(1)确定区间_,验证,给定精确度;(2)求区间的中点_;(3)计算;若_,则就是函数的零点;若,则令_(此时零
8、点);若,则令_(此时零点).4判断是否达到精确度:即若_,则得到零点近似值(或),否则重复(2)(4).例4、用“二分法”求方程在区间内的实根,取区间中点为,那么下一个有根的区间是_. 例5（1）函数的零点能用二分法求吗？请说明理由（2）能用二分法求方程在区间内的近似解吗？如果有，能否判断方程在区间内至少有两个不同的根例6、用二分法研究函数f(x)x3ln的零点时，第一次经计算f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_以上横线上应填的内容为()A. B(0,1)f C. D. 练10：1已知函数的图像如右图所示，函数所对应的方程为，下列有关用二分法求方程解的说法中正确的是（ ）A方程
9、在上满足，所以方程在上无解B区间不可以作为方程某根的初始区间C区间可以作为方程的某根的初始区间D方程在区间上满足，所以方程在此区间上有一解2若某一方程有一无理根在区间内，若用二分法求此根的近似值，将等分（ ）次后，所得近似值可精确到A3 B4 C5 D63用二分法求下图所示函数的零点时，不可能求出的零点是（ ）ABCD4设, 用二分法求方程内近似解的过程中，计算得到 则方程的根落在区间（ ）A（1,1.25） B（1.25,1.5） C（1.5,2） D不能确定5欲求曲线与直线的交点横坐标的近似值，可以转化为用二分法求函数 的零点近似值6用二分法逐次计算函数的一个正零点附近的函数值，参考数据如
10、下表：由表求方程精确到的一个近似解为 1全面认识深刻理解函数零点：(1)从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数x；(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；(3)若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；(4)若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点2求函数yf(x)的零点的方法：(1)(代数法)求方程f(x)0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性 质找出零点；(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值
11、，二分法的条件f(a)f(b)0表明：用二分法求函数的近似零 点都是指变号零点3有关函数零点的重要结论：(1)若连续不间断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点；(2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变任务三、巩固训练第一题：选择题1 已知函数，则（ ）A有一个零点B有两个零点C 有一个或两个零点D无零点2 已知函数的图象是连续不间断的，有如下的对应值表123456123.5621.457.8211.5753.76126.49函数在区间上的零点至少有（ ）A2个B3个C4个D5个3下列函数零点不宜用二分法的是()Af(x)x38 Bf(x)lnx3 Cf(x)x22x2 Df(x)x24x14若方程有两个根，则的取值范围是（ ） A BCD5设函数若，则函数的零点的个数为（ ） A 1B2C3D46函数的零点所在的大致区间是（ ）A BC和D7二次函数的图象开口向下，对称轴为，在图象与轴的两个交点中，一个交点的横坐标，则有（ ）A. BCD8无论取哪个实数值，函
