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1、三角学的来源与发展三角学之英文名称 Tionometr ，商定名于公元16,实际导源于希腊文igon (三角)和metrin (测量）,其原义为三角形测量（解法),以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基本,达到测量上的应用为目的的一门学科。初期的三角学是天文学的一部份，后来研究范畴逐渐扩大,变成以三角函数为重要对象的学科。目前，三角学的研究范畴已不仅限于三角形，且为数理分析之基本，研究实用科学所必需之工具。西方的发展三角学iomtry创始于公元前约150年,早在公元前3,古代埃及人已有了一定的三角学知识,重要用于测量。例如建筑金字塔、整顿尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。公元前
2、6左右古希腊学者泰勒斯(p13)运用相似三角形的原理测出金字塔的高,成为西方三角测量的肇始。公元前2世纪后希腊天文学家希帕霍斯（Hpprcsofcaea)为了天文观测的需要，作了一种和目前三角函数表相仿的弦表，即在固定的圆内,不同圆心角所对弦长的表,她成为西方三角学的最早奠基者，这个成就使她赢得了三角学之父的称谓。公元2世纪,希腊天文学家数学家托勒密(Ptomy)(85-16)继承希帕霍斯的成就，加以整顿发挥,着成天文学大成1卷，涉及从到9每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式,被觉得是西方第一本系统论述三角学理论的著作。约同步代的梅内劳斯(Menls)写了一本专门论述球三角学的著作球
3、面学，内容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许多独特性质。她的工作使希腊三角学达到全盛时期。 （二)中国的发展国内古代没有浮现角的函数概念，只用勾股定理解决了某些三角学范畴内的实际问题。据周髀算经记载，约与泰勒斯同步代的陈子已运用勾股定理测量太阳的高度,其措施后来称为重差术。61西方三角学初次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和国内学者徐光启(p0)合编的大测为代表。同年徐光启等人还编写了测量全义，其中有平面三角和球面三角的论述。65年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编三角算法,以三角取代大测，确立了三角名称。1877年华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独立的探
4、讨。 现代的三角学重要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用,如几何计算等,多发展于20世纪中。贰、三角函数的演进正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、 正割函数、余割函数统称为三角函数（rigtic fucti)。 尽管三角知识来源于远古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉(16)（1707-1783）在无穷小分析引论一书中初次给出的。在欧拉之前,研究三角函数大都在一种拟定半径的圆内进行的。如古希腊的托勒密定半径为60；印度人阿耶波多（约476-5）定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯（436-176）为了精密地计算三角函数值曾定半径60,000；后来为制定更精密的正弦表又定半径为
5、17。因此,当时的三角函数事实上是定圆内的某些线段的长。 DCB0AP意大利数学家利提克斯(51-1574）变化了前人的做法,即过去一般称AB为 的正弦,把正弦与圆牢牢地连结在一起（如下页图）， 而利提克斯却把它称为AOB的正弦，从而使正弦值直接与角挂勾，而使圆O成为附属地位了。 到欧拉(Eulr)时,才令圆的半径为1，即置角于单位圆之中,从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比。 正弦、余弦 在A中,a、b、为角A、C的对边，R为ABC的外接圆半径，则有 称此定理为正弦定理。 正弦定理是由伊朗出名的天文学家阿布尔.威发(94098)一方面发现与証明的。中亚细亚人阿尔比鲁尼9-10(p15)
6、给三角形的正弦定理作出了一种証明。 也有说正弦定理的証明是13世纪的那希尔丁在论完全四边形中第一次把三角学作为独立的学科进行论述,初次清晰地论証了正弦定理。她还指出,由球面三角形的三个角，可以求得它的三个边,或由三边去求三个角。 这是区别球面三角与平面三角的重要标志。至此三角学开始脱离天文学,走上独立发展的道路。托勒密（CudisPtolem )的天文学大成第一卷除了某些初级的天文学资料之外,还涉及了上面讲的弦表:它给出一种圆从 (） 到180每隔半度的所有圆心AM BAO角所对的弦的长度。圆的半径被分为0等分，弦长以每一等分为单位,以六十进制制体现。这样，以符号rd a 表达圆心角所对的弦长
7、， 例如 rd 36= 37p455，意思是:3 圆心角的弦等于半径的（或37个小部分)，加上一种小部分的，再加上一种小部分的，从下图看出,弦表等价于正弦函数表，由于 公元6世纪初,印度数学家阿耶波多制作了一种第一象限内间隔34的正弦表,根据巴比伦人和希腊人的习惯,将圆周分为30度,每度为60分，整个圆周为260份,然后据 216000，得出r=343近似值,然后用勾股定理先算出30、4、90的正弦之后，再用半角公式算出较小角的正弦值,从而获得每隔345的正弦长表;其中用同一单位度量半径和圆周,孕育着最早的弧度制概念。她在计算正弦值的时候,取圆心角所对弧的半弦长，比起希腊人取全弦长更近于现代正
8、弦概念。印度人还用到正矢和余弦，并给出某些三角函数的近似分数式。2正切、余切出名的叙利亚天文学、数学家阿尔一巴坦尼80-929于9左右，制成了自0到90相隔1的余切cotngn表。 公元72年，僧一行受唐玄宗之命撰成大行历。为了求得全国任何一地方一年中各节气的日影长度 ，一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度相应表，而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切tanget函数 。而巴坦尼编制的是余切函数表，而太阳高度角和太阳天顶距角互为余角,这样两人的发现事实上是一回事,但巴坦尼比一行要晚近2。 世纪中叶,中亚细亚的阿鲁伯39-49,原是成吉思汗的后裔,她组织了大规模的天文观测和数学用表的计算。她的
9、正弦表精确到小数位。她还制造了3到45之间相隔为1,45到0的相隔为5的正切表。 在欧洲,英国数学家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁290?149一方面把正切、余切引入她的三角计算之中。 .正割、余割正割secant及余割cosecat这两个概念由阿布尔威发一方面引入。c这个略号是1626年荷兰数基拉德15-1630在她的三角学中一方面使用,后经欧拉采用才得以通行。正割、余割函数的现代定义亦是由欧拉给出的。 欧洲的文艺复兴时期,4世纪-16世纪伟大的天文学家哥白尼1473-143倡导地动学说，她的学生利提克斯见到当时天文观测日益精密,觉得推算更精确的三角函数值表刻不容缓。于是她定圆的半径为01，以制作
10、每隔10的正弦、正切及正割值表。当时还没有对数，更没有计算机。全靠笔算,任务十分繁重。利提克斯和她的助手们以坚毅不拔的意志,勤奋工作达之久，遗憾的是,她生前没能完毕这项工作，直到159年,才由她的学生鄂图15501605完毕并发布于世，海得堡的彼提克斯15613又修订了利提克斯的三角函数表,重新再版。后来英国数学家纳皮尔发现了对数，这就大大地简化了三角计算,为进一步造出更精确的三角函数表发明了条件。4.三角函数符号毛罗利科早于158年已采用三角函数符号， 但当时并无 函数概念,于是只称作三角线（ tigonoeic lne）。她以sinus 1acu 表达正弦，以sinus 2m arcu表达
11、余弦。而首个真正使用简化符号表达三角线的人是T.芬克。她于158年创立以“tanet”（正切）及“secant”(正割)表达相应之概念,其后她分别以符号“si.”,“tan. ”， “sec. ”,“”,“tan. co”,“ sec.m”表达正弦,正切,正割,余弦，余切,余割，首三个符号与现代之符号相似。后来的符号多有变化,下列的表便显示了它们之发展变化。 使用者年代正弦余弦正切余切正割余割备注罗格蒙格斯122S.T （Tan)T.plecSec.Cmpl吉拉尔12tansec.杰克196s.cos.t.cot.sece.欧拉1753n.s.(tg)t.sec.csec谢格内1767n.co
12、stn.ct.巴洛1814sncos.tnoecose施泰纳12g皮尔斯186sicos.ta.clseccose奥莱沃尔188sinstanctccs申弗利斯886ctg万特沃斯17sincostanteccsc舍费尔斯191sinctgctgsecsc注：现代（欧洲）大陆派三角函数符 -现代英美派三角函数符号 国内现正采用类三角函数符号。 19年，丹尼尔.伯努利是先以符号表达反三角函数,如以AS表达反正弦。173年欧拉以At 表达反正切,一年后又以Asin表达于单位圆上正弦值相等于的弧。 177年,申费尔以arc. ang.表达反正切;同年,拉格朗日采以表达反正弦函数。1776年,兰伯特则
13、以ac. sin表达同样意思。179年，鲍利以Arcsn表达反正弦函数。其后这些记法逐渐得到普及，去掉符号中之小点，便成现今通用之符号，如c sin ，ar cos x 等。于三角函数前加ac表达反三角函数,而有时则改以于三角函数前加大写字母开头Ac，以表达反三角函数之主值。 另一较常用之反三角函数符号如sin-1x,tan-1x等，是赫谢尔于18开始采用的,把反三角函数符号与反函数符号统一起来,至今亦有应用。 三、三角函数的和差化积公式下列公式 称为三角函数的和差化积公式。 法国出名数学家韦达51603(p18）在她的出名的三角学著作原则数学中收集并整顿了有关三角公式并予以补充,其中就有她给出的恒等式： 【后记】三角函数名称的由来和补充想懂得为什么三角函数要叫做sin，c这些名字吗?通过了多方的查取资料,找到了下图：上面这个图称为三角圆（半径=1）,是用图形的方式体现各函数。其中我们可以看到,sin为PM线段，也就是圆中一条弦(对2圆周角)的一半,因此称为正弦。而o是线
