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1、排列与组合的综合问题通过对前面知识的学习,同学们已经有了一定的解题技巧和方法,但要解决排列和组合的综合题,还得注意一下几点:一、 解题思路:解排列组合问题,要正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义,其次,对一些复杂的带有附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法:特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。科学分类法:对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况,进行科学分类,以便有条不紊地进行解答,避免重复或遗漏现象发生插空法:解决一些不相邻问
2、题时,可以先排一些元素然后插入其余元素,使问题得以解决捆绑法:相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列,然后再局部排列排列组合的综合问题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系,从而增加了问题的综合性,解答这类应用题时,要注意使用相关知识对答案进行取舍.二、 问题讨论例1(优化设计P178例1)、从6名短跑运动员中选4人参加4100米接力,如果其中甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,问共有多少种参赛方法?解法一: 问题分成三类:(1)甲乙二人均不参加,有种;(2)甲、乙二人有且仅有1人参加,有2()种;(3)甲、乙二人均参加,有(2)种,故共有
3、252种解法二:六人中取四人参加的种数为,从6人中选4人的排列组合数减去甲跑第一棒时从剩余5人中选3人的排列组合数,再减去乙跑第四棒时从剩余5人中选3人的排列组合数,再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒时从剩余4人中选2人的排列组合数252种分析:对于带有限制条件的排列、组合综合题,一般用分类讨论或间接法两种例2: 有5个男生和3个女生,从中选取5人担任5门不同学科的科代表,求分别符合下列条件的选法数:(1)有女生但人数必须少于男生(2)某女生一定要担任语文科代表(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表解:(1)先取后排,有
4、种,后排有种,共有5400种(2)除去该女生后先取后排:种(3)先取后排,但先安排该男生:种(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有种,再安排该男生有种,其余3人全排有种,共=360种(思维点拨)特殊元素或特殊位置首先考虑例3(优化设计P178例2)、对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试,至区分出所有次品为止,若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现,则这样的测试方法有多少种可能?解:第5次必测出一次品,余下3件次品在前4次被测出,从4件中确定最后一件次品有种方法,前4次中应有1件正品、3件次品,有种,前4次测试中的顺序有种,由分步计数原理即得:()576。分析:本题涉及一类重要
5、问题:问题中既有元素的限制,又有排列的问题,一般是先选元素(即组合)后排列例4(优化设计P178例3)、在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A,B两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A,B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法共有多少种?解: 依题意,A,B两种作物的间隔至少6垄,至多8垄。分3种情况:(1)若A、B之间隔6垄,这样的选垄方法有3A种.(2)若A、B之间隔7垄,这样的选垄方法有2A种.(3)若A、B之间隔8垄,有A种方法.根据分类计数原理可有3A2AA6A12种不同的选垄方法.例5(优化设计P178例4)、有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安
6、排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是解法一:前后各一个,有8122192种方法前排左、右各一人:共有44232种方法两人都在前排:两人都在前排左边的四个位置:乙可坐2个位置乙可坐1个位置224112此种情况共有426种方法因为两边都是4个位置,都坐右边亦有6种方法,所以坐在第一排总共有6612种方法两人都坐在第二排位置,先规定甲左乙右甲左乙右总共有种方法同样甲、乙可互换位置,乙左甲右也同样有55种方法,所以甲、乙按要求同坐第二排总共有552110种方法。综上所述,按要求两人不同排法有 1923212110346种解法二:考虑20个位置中安排两个人
7、就坐,并且这两人左右不相邻,4号座位与5号座位不算相邻,9号座位与10号座位不算相邻,共有种思考题:例6、有6本不同的书(1)甲、乙、丙3人每人2本,有多少种不同的分法?(2)分成3堆,每堆2本,有多少种不同的分堆方法?(3)分成3堆,一堆1本,一堆2本,一堆3本,有多少种不同的分堆方法?(4)分给甲、乙、丙3人,一人1本,一人2本,一人3本,有多少不同的分配方法?(5)分成3堆,有2堆各一本,另一堆4本,有多少种不同的分堆方法?(6)摆在3层书架上,每层2本,有多少种不同的摆法?解:(1)在6本书中,先取2本给甲,再从剩下的4本书中取2本给乙,最后2本给丙,共有(种)。(2)6本书平均分成3
8、堆,用上述方法重复了倍,故共有(种)。(3)从6本书中,先取1本做1堆,再在剩下的5本中取2本做一堆,最后3本做一堆,共有(种)(4)在(3)的分堆中,甲、乙、丙3人任取一堆,故共有(种)。(5)平均分堆要除以堆数的全排列数,不平均分堆则不除,故共有(种)。(6)本题即为6本书放在6个位置上,共有(种)。例7、(1)10个优秀指标分配给6个班级,每班至少一个,共有多少种不同的分配方法?(2)10个优秀名额分配到一、二、三3个班,若名额数不少于班级序号数,共有多少种不同的分配方法?解:(1)如果按指标的个数进行分类,讨论比较复杂,可构造模型,即用5个隔板插入10个指标中的9个空隙,即即为所求。(2)先拿3个指标分别给二班1个,三班2个,则问题转化为7个优秀名额分给三个班,每班至少一个,同(1)知即为所求。三、课堂小结处理排列组合应用题的规律(1) 两种思路:直接法,间接法(2) 两种途径:元素分析法,位置分析法 (3)对排列组合的混合题,一般先选再排,即先组合再排列。弄清要完成什么样的事件是前提。 (4)基本题型及方法:捆绑法,插空法,错位法,分组分配法,均匀分组法,逆向思考法等