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1、返回返回上页上页下页下页目录目录第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程 第六章第六章 ( Space Straight Line and Its Equation)四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角一、空间直线方程的一般方程一、空间直线方程的一般方程 二、空间直线方程的对称式方程和参数方程二、空间直线方程的对称式方程和参数方程三、两直线的夹角三、两直线的夹角五、平面束五、平面束六、小结与思考练习六、小结与思考练习9/5/20241返回返回上页上页下页下页目录目录因此其一般式方程(General Equation of a Space Straight Line)直线可视为两平面交
2、线，( (不唯一不唯一) )一、空间直线方程的一般方程一、空间直线方程的一般方程9/5/20242返回返回上页上页下页下页目录目录(Symmetric Expression) 1. 对称式方程（点向式方程对称式方程（点向式方程)故有说明说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.设直线上的动点为 则此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如, 当和它的方向向量 二、空间直线方程的对称式方程和参数方程二、空间直线方程的对称式方程和参数方程9/5/20243返回返回上页上页下页下页目录目录设得参数式方程 :3. 参数式方程参数式方程(Paramet
3、ric Form ) 9/5/20244返回返回上页上页下页下页目录目录解解: :先在直线上找一点.再求直线的方向向量令 x = 1, 解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .例例1 1 用对称式及参数式表示直线（补充题）（补充题）9/5/20245返回返回上页上页下页下页目录目录故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量.(自学课本自学课本 例例1)9/5/20246返回返回上页上页下页下页目录目录例例 2 求与两平面x4y = 3 和2xy5z = 1 的交线平行且过点(3, 2, 5)的直线的方程.解：解：因为所求在直线与
4、两平面的交线平行，也就是直线的方向向量s 一定同时与两平面的法线向量n1、n2垂直，所以可以取 因此所求直线的方程为 9/5/20247返回返回上页上页下页下页目录目录例例3 求直线 与平面2xyz6=0的交点. 解：解：所给直线的参数方程为x = 2 + t, y =3+t, z=4+2t, 代入平面方程中，得 2(2+t) + (3+t) + (4+2t)6=0. 解上列方程，得t =1. 把求得的t值代入直线的参数方程中，即得所求交点的坐标为 x=1, y=2, z=2. （由课本例（由课本例3改编）改编）9/5/20248返回返回上页上页下页下页目录目录则两直线夹角 满足设直线两直线的
5、夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为（The Angle between Two Straight Lines）三、两直线的夹角三、两直线的夹角9/5/20249返回返回上页上页下页下页目录目录特别地有特别地有:9/5/202410返回返回上页上页下页下页目录目录解解: 直线直线二直线夹角 的余弦为从而的方向向量为的方向向量为例例4（由课本（由课本例例4改编）改编） 求以下两直线的夹角9/5/202411返回返回上页上页下页下页目录目录（The Angle between a Straight Lines and a Plane）当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为
6、直线与平面间的夹角;当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足直线和它在平面上的投影直四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角9/5/202412返回返回上页上页下页下页目录目录特别有特别有: :例例5 求过点(1,2 , 4) 且与平面解解: : 取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.为所求直线的方向向量. 垂 9/5/202413返回返回上页上页下页下页目录目录五、平面束五、平面束 有时用平面束的方程解题比较方便，现在我们来介绍它的方程.设直线L由方程组所确定，其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例. 我们建立三元一次方
7、程： ( III )其中 为任意常数. 因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成 ( II ) ( I )（Pencil of Planes）9/5/202414返回返回上页上页下页下页目录目录比例，所以对于任何一个 值，方程(III)的系数： 不全为零，从而方程(III)表示 一个平面，若一点在直线L上，则点的坐标必同时满足方程(I)和(II)，因而也满足方程(III)，故方程(III)表示通过直线L的平面，且对于于不同的 值，方程(III)表示通过直线L的不同的平面. 反之，反之，通过直线L 的任何平面(除平面(II)外)都包含在方程(III)所表示的一族平面内. 通过定直线的所有平面的
8、全体称为平面束，而方程(III)就作为通过直线L的平面束的方程(事实上，方程(III)表示缺少平面(II)的平面束). 9/5/202415返回返回上页上页下页下页目录目录例例6 求直线 在平面x+y+z=0上的投影直线的 方程. 解：解：过直线 的平面束的方程为 (x +y- z-1) + (xy+z+1)=0,(1+ )x+(1- )y+(-1+ )z+(-1+ )=0, 即 (*)(*) 其中 为待定常数. 这平面与平面x+y+z=0垂直的条件是 即 由此得 =-1 代入(*)(*)式，得投影平面的方程为 2y-2z-2 =0 即 y-z-1=0所以投影直线的方程为 9/5/202416
9、返回返回上页上页下页下页目录目录解：解：9/5/202417返回返回上页上页下页下页目录目录解：解：9/5/202418返回返回上页上页下页下页目录目录1. 空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式内容小结内容小结9/5/202419返回返回上页上页下页下页目录目录直线直线夹角公式:2. 线与线的关系线与线的关系9/5/202420返回返回上页上页下页下页目录目录平面 :L L / 夹角公式：夹角公式：直线 L :3. 面与线间的关系面与线间的关系4. 平面束平面束9/5/202421返回返回上页上页下页下页目录目录课外练习课外练习习题习题66 1（偶数题）；（偶数题）；3；4（2）（）（4
10、）；）； 6（2）；）；7 （偶数题）；（偶数题）；10；12思考与练习思考与练习D9/5/202422返回返回上页上页下页下页目录目录CC面面面面面面面；面；xoyQDxozQCyozQBxoyQArrrr)(;)(;)()( 面面面面面面面；面；xoyQDxozQCyozQBxoyQArrrr)(;)(;)()( A9/5/202423返回返回上页上页下页下页目录目录BB9/5/202424返回返回上页上页下页下页目录目录解：解：相交,求此直线方程 .的方向向量为过 A 点及 面的法向量为则所求直线的方向向量方法方法1 利用叉积. 所以且垂直于直线 又和直线2. 一直线过点9/5/202425返回返回上页上页下页下页目录目录设所求直线与的交点为待求直线的方向向量方法方法2 利用所求直线与L2 的交点 .即故所求直线方程为 则有9/5/202426返回返回上页上页下页下页目录目录代入上式 , 得由点法式得所求直线方程而9/5/202427
