三维实体模型中B

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1、3. 平时作业完成三维实体模型中B_Rep或CSG表示法的一种C/C+语言的数据结构定义。物体的CSG树表示物体的体素构造表示法（Constructive Solid Geometry, CSG）是用两个物 体间的并、交、差正则集合运算操作生成一个新的物体的方法。CSG表示法：先定义一些形状比较简单的常用体素，如方块、圆柱、圆锥、球、 棱柱等。然后用集合运算并、交、差把体素修改成复杂形状的形体。早期的CSG 模型仅使用代数方程及半空间的概念，体素只支持多面体与二次曲面体，而不支 持表面含有自由曲面的实体。整个模型是棵树结构，最终形体的表面交线与有效 区域没有显式给出，不能直接用于NC加工与有限

2、元分析等后继处理。集合运算构造实体的过程可用二叉树结构表示，称该二叉树为CSG树。树的叶节 点表示体素或带有几何变换参数的体素，非叶节点表示施加于其子节点的正则集 合算子，或称布尔算子。树的根节点表示集合运算的最终结果，也即希望得到的 实体。边界表示法边界表示法（Brep-Boundary Representation）通过描述物体的边界来表示 一个物体。所谓的边界是指物体的内部点与外部点的分界面，定义了物体的边界， 该物体也就被唯一地定义了。如下图：边界表示法一个重要的特点是：描述物体的信息包括几何信息与拓扑信息两 个方面。几何信息是指物体在欧氏空间中的位置、形状和大小；而拓扑信息是指 拓扑

3、元素（顶点、边和表面）的数量及其相互间的连接关系。拓扑信息构成物体 的“骨架”，而几何信息则犹如附着在这一 “骨架”上的“肌肉”。几何信息有面（face）、环（loop）、边（edge）和点（vertex），拓扑信息 有模型（model）、区域（region）、外壳（shell）、面引用（face use）、环引 用（loop use）、边引用（edge use）和点引用（vertex use）。如下图是用辐射 边数据结构表示的一个形体模型，注意其中实体、面、线是用统一的数据结构表 示的。顶点顶点（Vertex）的位置用（几何）点（Point）来表示。点是几何造型中的 最基本的元素，自由曲线、

4、曲面或其它形体均可用有序的点集表示。用计算机存 储、管理、输出形体的实质就是对点集及其连接关系的处理。在正则形体定义中，不允许孤立点存在。边边（Edge）是两个邻面（对正则形体而言）、或多个邻面（对非正则形体而言） 的交集，边有方向，它由起始顶点和终止顶点来界定。边的形状（Curve）由边 的几何信息来表示，可以是直线或曲线，曲线边可用一系列控制点或型值点来描 述，也可用显式、隐式或参数方程来描述。形体中与一条空间曲线相联系，以及 包含其两个端点和引用它的所有环边等信息的拓扑元素称为边。环环（Loop）是有序、有向边（Edge）组成的封闭边界。环中的边不能相交， 相邻两条边共享一个端点。环有方

5、向、内外之分，外环边通常按逆时针方向排序， 内环边通常按顺时针方向排序。面面（Face）由一个外环和若干个内环（可以没有内环）来表示，内环完全在 外环之内。根据环的定义，在面上沿环的方向前进，左侧总在面内，右侧总在面 外。面有方向性，一般用其外法矢方向作为该面的正向。若一个面的外法矢向外， 称为正向面；反之，称为反向面。面的形状（Surface）由面的几何信息来表示， 可以是平面或曲面，平面可用平面方程来描述，曲面可用控制多边形或型值点来 描述，也可用曲面方程（隐式、显式或参数形式）来描述。对于参数曲面，通常 在其二维参数域上定义环，这样就可由一些二维的有向边来表示环，集合运算中 对面的分割也

6、可在二维参数域上进行。体体（Body）是面的并集。在正则几何造型系统中，要求体是正则的，非正则 形体的造型技术将线框、表面和实体模型统一起来，可以存取维数不一致的几何 元素，并可对维数不一致的几何元素进行求交分类，从而扩大了几何造型的形体 覆盖域。几何形体是由封闭表面围成的空间，是欧氏空间中非空、有界的封闭 子集，其边界是有限个面的并集。外壳外壳是一些点、边、环、面的集合，其所含的面集有可能围成封闭的三维区 域，从而构成一个实体；外壳还可以表示任意的一张曲面或若干个曲面构成的面 组；外壳还可以是一条边或一个孤立点。外壳中的环和边有时被称为“线框环” 和“线框边”，这是因为它们可以用于表示形体的

7、线框图。区域由一组外壳组成，而模型由区域组成。正则形体对于任一形体，如果它是三维欧氏空间R3中非空、有界的封闭子集，且其 边界是二维流形（即该形体是连通的），则称该形体为正则形体，否则称为非正则 形体。在这种表示法中，由于物体的点、边和表面以独立对象的形式的存在，所以 可以方便地对物体进行各种局部修改。多面体的顶点、边和表面之间的拓扑关系可用9种不同的形式予以描述：1. 顶点相邻性，表示v-v2. 顶点一边相邻性，表示v-e3. 顶点一面相邻性，表示v-f4. 边一顶点，e-v5. 边边e-e6. 边一面e-f7. 面一顶点f-v8. 面边f-e9. 面一面f-f边界表示的数据结构两种典型的边

8、界表示法数据结构主要包括：翼边结构，双向边表 (DCEL -Doubly Connected Edge List)，半边结构，四边结构，辐射边(Radial-Edge) 结构等等。其中半边结构非常适合表示正则形体。翼边结构在顶点、边、表面等组成物体的三要素中，翼边结构以边为中心来组织数据。如下图:Vertex P1,P2;Loop *LeftLoop,*RightLoop;struct Edge *ercw,*ercc,*elcc,*elcw;上图菱边e作为有向线段，其数据结构中包含有两个指针，分别指向e的两 个端点：起点P1和终点P2。此外，e中还设置有两个环指针，分别指向菱边e 所邻接的两

9、表面上的环Loop左和Loop右。这样就确定了菱边e与相邻表面之间 的拓扑关系。为了能从边e出发找到它所在的任一闭合面环上的其他菱边，在e 中又增加了四个边指针ercw、ercc、elcc、elcw， ercc表示e在右面环中沿逆 时针方向所连接的下一条菱边，elcw表示e在左面环中沿顺时针方向所连接的 下一条边，余类推。由于翼边结构边的构造和使用比较复杂，后来在此结构基础上改进，提出了 半边数据结构。半边结构已成为边界表示的主流数据结构。半边数据结构实体的B-rep表示模型是一非常复杂的模型，要求能够表达出多面体各几何 元素之间完整的几何和拓扑关系，并且允许对这种几何和拓扑关系进行修改.在

10、B-rep表示中，体、面、边和顶点是最基本的几何元素，在实体的拼合、显示、 分析计算或人机交互过程中，对基本几何元素的下列操作是必不可少的：.增加或删除体、面、边或顶点；.已知一个体，查找它的所有面、所有边或所有顶点；.已知一个面或一个边，查找它所属于的体；.已知一个面，顺序查找围成它所有边；.已知一个边，查找交于该边的所有面，或着查找该边的邻边，或者查找该 边的两个端点；.已知一个顶点，查找交于该顶点的所有边或所有面.以上这些基本操作的效率直接影响着整个实体造型系统的效率。一个B-rep 数据结构应当方便、迅速地实现几何元素的这些查询或增删操作.为了查询或操 作方便，必须建立各几何元素间的拓

11、扑关系，且引入其它辅助元素，例如在许多 B-rep数据结构中具有环结点，用来表示面的内、外封闭边界.在B-rep的数据 结构设计时，除了需要考虑时间的因素外，还要考虑空间的因素，即模型所占计 算机内存的大小，但往往这两方面是互相矛盾的.要想各个几何元素之间查询迅 速，必然要在它们之间建立广泛的联系，这样必然增加存储空间的占用量.反过 来也是如此，而半边数据结构就很好的权衡了空间和时间的问题。在构成多面体的三要素（点、边、面）中，半边数据结构仍以边为核心，但 为了方便表达拓扑关系，它将一条边表示成拓扑意义上方向相反的两条“半边”， 所以称为半边数据结构，其结构如图：KA半边数据结构共包含六个结点

12、：体、面、环、边、半边和顶点.半边是一连 接两个顶点并具有一固定方向的线段.一系列首尾相连的半边形成一个环.半边 的关系是一个边包含两个相反方向的半边，由这两个半边可以查询交于这个边的 两个面。半边的含义如上图所示.半边数据结构的优点是几何元素之间的互相查 询非常方便，不足之处是由于结点多占用空间较大。半边数据结构的六个结点在C语言中被表达成“结构”.结点之间通过结构 指针互相联系.这些结点描述如下：顶点结点：顶点结点是半边数据结构中最底层的结点，实体的几何位置和尺 寸最终都由顶点结点来定义.所以，顶点结点必须包含顶点的空间三维坐标值半边结点：半边结点包含指向前趋半边和后继半边的两个指针.这两

13、个指针 形成了一个环内半边的双向链表.半边结点还包含半边所属于的环的指针，以及 半边起始顶点的指针.边结点：边结点包含左右两个半边的指针，通过这两个指针可以查找该边的 两个端点以及交于该边的两个面.指向前趋边和后继边的两个指针实现一个实体 内边的双向链表.环结点：因为一个环包含一系列的首尾相接的半边，故环结点是一个指向这 些半边其中之一的指针，通过该指针可以查找构成该环的所有半边.环结点还包 含指向前趋和后继环的两个指针，用以实现一个面内环的双向链表.另外，环结 点还包含指向环所在面的指针.面结点：因为面是由若十个环围成的内部连通的平面多边形，所以，面结点 包含一个环的首指针，用来查找围成它的

14、所有环.因为外环只有一个，为了区分 内环和外环，面结点中包含指向它的外环的指针.面的前趋指针和后继指针形成 一个实体内面的双向链表.面结点中还包含指向它所属于的体的指针，用来查询 面所属于的实体.面所在平面的方程也是定义完整实体的重要内容，所以，面结 点中包含一个四个浮点数的数组，表示其平面方程.体结点：在半边数据结构中，体结点是各种引用的根结点.从体结点出发， 可以搜索任何其它的结点.所以，体结点，包含面、边和顶点的首指针.体结点之 间也是通过前趋指针和后继指针形成的双向链表来连接。从图中可以看出，许多几何元素可以有不同的搜索路径，例如查找实体上的 顶点可以有两个路径：一是体一面一环一半边一

15、顶点；二是体一顶点.第二个路 径比第一个路径要简捷得多，用来进行实体的平移等整体操作；第一个路径一般 用作局部查找。为了表示非正则形体，1986年，Weiler提出了辐射边（Radial Edge）数据 结构。辐射边结构的形体模型由几何信息（Geometry）和拓扑信息（Topology） 两部分组成。几何信息有面（face）、环（loop）、边（edge）和点（vertex）， 拓扑信息有模型（model ）o区域（region）、外壳（shell）、面引用（face use）、环引用（loopuse）、 边引用（edge use）和点引用（vertex use）。这里点是三维空间的一个位置， 边可以是直线边或曲线边，边的端点可以重合。环是由首尾相接的一些边组成， 而且最后一条边的终点与第一条边的起点重合；环也可以是一个孤立点。外壳是 一些点、边、环、面的集合；外壳所含的面集有可能围成封闭的三维区域，从而 构成一个实体；外壳还可以表示任意的一张曲面或若干个曲面构成的面组；外壳 还可以是一条边或一个孤立点。外壳中的环和边有时被称为“线框环”和“线框 边”，这是因为它们可以用于表示形体的线框图。区域由一组外壳组成，而模型 由区域组成。