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1、一： 用描述函数法分析二阶环路 描述函数法是将控制系统中非线性元件在特定的输入信号(正弦，直流偏置，高斯随机变量或它们的组合)作用下，用等效线性增益来等效该元件的非线性特性，从而用线性系统的理论去分析非线性系统。在“非线性最子线路”中，分析混频器采用变领跨导分析法就是这一方法运用的实例。 假定非线性元件输入是正弦变化的信号，一般来说这时非线性元件的输出不是正弦的。现在我们假设输出是用期性变化的信号，并且其周期与输入信号周期相同。这时输出中除了有一次谐波分量之外，还包含有高次谐波。 在描述函数法分析中，认为感兴趣的是输出中的基波分量或某一高次谐波分量。这种假设通常是正确的，因为在输出中高次谐波分
2、量的振幅通常比次谐波分量振幅要小，而且大多数系统中非线性元件后跟有滤波器，使需要的那部分分量通过，因而相对基波或所需的那个分量来说，其它分量可以忽略。 非线性元件的描述函数在此主要讲正弦输入情况下的描述函数，是输出的次谐波分量与输入信号的复数比来定义，即式中 KN为描述函数； E为正弦输入的振幅；G1为输出的一次谐波分量的振幅；为输出的一次谐波分量对输入信号的相位移。 ” 如果在非线性元件中不包含储能元件，则，K只是输入信号振幅的函数。若包含储能元件，那么Kn为一复数，是输入信号振幅和频率的函数。 必须指出，描述函数法是线性方法应用于非线性系统研究的进一步推广，它只适用于非线性程度较低的系统。
3、在非线性程度较高的系统分析中，用它可能会出现一些不正确的结论。在运用描述函数时，一定不要忘记它的基本假设和限制条件。例如上面的描述函数是在正弦输八条件下得到的。另外它比相图法有一个优点，就是可以分析高阶环路，也就是无论什么阶次的非线性元件并不影响分析的复杂性，反而阶次越高对高谐波衰减越大，近似条件也越合理。 二：用描述函数法分析二阶环路的捕捉时间和捕捉带 若在正弦鉴相器上加入输入信号)和VCO的输出信号分别为 这时环路固有频差为，鉴相器的输出是一个上下不对称的周期差拍信号，包含直流分量和各次谐波，其后的环路滤波器可滤除高次谐波分量，这样用描述函数的基本思路，可以看成VCO的控制电压为 (342
4、)在此，U为控制电压中的直流分量；U为其基波分量的幅度值，其余谐波分量经环路滤波后可忽略，为瞬时平均频差，它是一变量，它随时间变化而变化。VCO的瞬时频率为；这样VCO的输出电压可写成而这PD的输出为：将此式用贝塞尔函数展开，可知它有直流分星和各次谐波；根据描述函数法的原则，只近似考虑直流分量和它的一次谐波。若时，使用描述函效法就更合理，因为这时Ud(t)的高次谐波振幅要比一次谐波分量的振幅要小得多.因为 瞬时平均频差为：代入上式有这式中有直流分量，基波分量和二次谐波分量。若不计二次谐波分量，则有 我们知道，环路在固有频作用下，能够进入锁定必须是环路能使基波控制电压消失，即为零才行。鉴相器输出
5、中的直流分量起了使环路锁定的作用。它通过环路滤波器时，不断地给积分电路充电，产生积累的直流控制电压输出。使压控振荡器中心频率朝着减小平均频差A。一大。F的方向移动。苦平均频差能减小到进入快捕带z2Z，那么 一定会消失，即为零，环路进入锁定。反之，若这个直流控制电压始终不能积累到使A，减小到快捕带以内，则环路就不能锁定。 显然，环路使M从t0的平均频差减小到等于快捕带， 这一过程所需时间就是环路的频率捕捉时间；能使平均频差减小列快捕带以内的固有频差值就是环路的捕捉带。为了得到捕捉时间和捕捉带的表达式，必须从计算ud0和ud1的环路滤波器输出端的响应uc0和uc1入手。 由于环路滤波器为一线性电路
6、，可以应用叠加原理分别从Ud0求Uc0。和由Ud1求Uc1。另外为了保证环路锁定，一般环路滤波器的带宽远小于检相器输出的基波分量，即,在此条件下，Uc1(t)的振幅是Ud1(t)的振幅乘上环路滤波器的高频传输系数,得用这结果和式(342)的假设相比较，可得上面分析知，已知又因为 这说明只要瞬时平均频差大于环路快捅带，就可以使l。这个条件在捕捉过程中总是满足的，因为只要快捕带，捕捉过程就结束了。 下面再用环路滤波器的线性微分方程从Udo求Uc。再用上面得到的近似结果和假设条件，求二阶环路的捕捉时间与捕获带的表达式。因为捕捉过程主要是直流分虽不断积累。使靠拢。 对于有源滤波器其微分方程为上面有：
7、综合上面的分析结论： 有所以根据上面得到的结果。间的关系。为了同时得到二阶环路的捕捉时间与捕捉带，必须采用环路滤波器的线性微分方程进行时域分析。 下面先分析环路滤波器对基波电压的输出响应对于有源或无源比例积分滤波器，利用滤波器的线性微分方程，如(门与?“(f)的关系可写成 rl。丛系1Lf：4宅i量?”“(门(有W) fl半个?、Nf2斗严?hN(湖) 由于环路滤波器是一线性系统，所以vd(f)也是和山l(f)频率相同，锁定，一阶环路滤波形的带宽远小于鉴相器的基波频率AM，即满足 A。1?z或AM。25 考虑到此条件庸，由L面两个微分方程可解得 儿l(f)足J。(夕)十stn(AMf日o) 显
8、然求得的”d(f)就是前面假设的压控振荡器控制电压(441)式个c。sAof尺dJ。(点)斗szn(AMf一60) Ar；Ad J。(A)子 6。一90。使用了两个假设条件，即 Ar。A r 月：L撇1mA。?n2Z下面进步说明两个假设的意义和如何满足它们。对于第一个假设，用(458)式代入得由于J。(劝1，所以可得 p警52余AM久半250。AM (454)为了保证环路的 (455) (456)的基波项，故 (457)(458)(459)x等六：i即第一个条件可满足。至于满足第二个条件，已由(455)式说明。 以L分析说明，为保证描述函数法用于分析环路捕挠性能的合理性和有效性，存在两个条件，
9、一是为保证近似分析的合理性条件夕l而导出的A。250。，即要求平均差：频A。?处于环路恢捕带A。*以外；二是保证分桥捕捉时间与捕促带的有效性条件，即要A。处于环路滤波器通；带以外而哥出的AM。2C9 从两个条件导出的结果AM260。及AMM：25看出，红12时， 只要入M2EM”必定同时满足。MM n25I恰恰相反，当6l2时，只要先满足A。M。25， 则AM25D，也自然满足。 我们使用描述函数炔的；删在于求得环路的捕捉时间与捕捉带，而汁甥捕权时间必定要求描述两数法在环路快捕带AMi260 n以外频域内部有效。这对于6l2的情况是可以保证的，而对于5lz时，情况就不同了。若充满足A。M n2
10、Z，则可白然满足A。2铀。， 这样一来在快捕带260。勺M n25之间却有段频域，描述函数法是无效的。达就使得征El2时，不能用扔述函数法来完整地计算环路的捕捉时间，好在实际上不常用5?2的环路。冈428表示了上述父系。 环路伙捕带 (u 92坠壁 音 。一m 24M，b飞广 s 记达函数法k效Kz 418 t666数日6女R；意M(a)5I：， (b)C12根据贝塞尔函数性质，ArX dJ。(月)令 如何应用亡面的结果和近似条件进一步求得：阶环捕捉时间与捕捉带呢?为此，必须在一定冈有频差及具体使用的环路26被器情况下，通道滤波器的线性微分方程来分析”do与儿。间的关系。 对于有源比例积分滤波
11、器 tl露b蚜?”“(d62) 内(451)式与(459)式可得 比。足cJl(夕)s：n(一60)尺Jl(月) (463)、。xdJL(；给)xJJl(所以充满足A。A。条件下得d帕，?、就是加入几控振荡器卜的且沈电历，项以(450)式可马咸 土uA 6)。一J(。pAu。一A。uM (466)将(465)及(166)式代入(462)式，即得到平均频整AM随时间f业化的微分力对(4G 7)式川边积分得i拌)d4c*df入(?：2?1)，八。，2Jf(八八)代入L式得 ffn哈彩二，n给 (dro)今开A。八八和X oAM。从M，根据(440)式关系，以父。为参变量什出又ff s天线，如图44
12、9所示”厂二二二二飞 竹效：m(d01)女，2M M日u女6：xI M曰 小团：可不以，只要衣又l的区域，平均频釜AM是在A。，o与AMl间单调递减的时间函数， 即无论固有频哭A。多大，随着时间的增长AM必定全减小到AMi估。义结论就是：环路的捕捉带为无穷大。这月相图出所得结论一致。 捕捉时间厂，定义为；输入信号与爪控振荡器输出信号间的起始频整(固定频差)AM。减小到决捕带Ad，i所需的时间。内(4叶o)式可得J*Mn：mw96MM?”M；x 7，、n默) M w小g 22K UR督儿b足够大，上式右边后两项可忽略，上：C可近似为 7Pc r，(e：)。锻此站见挪川驯奶析所得的(411)式一致
13、。对于无肋比例积分滤波器格(465)及(466)式代入上式，得 (eI?：一Aof1)警A08一AMoAM。十。AM ，f。oIT：JAi环黑zZ研J16占黑话5F式中积分常如e可根据fo时AMA6。来确定。根据特征方程A02一AM。AM十实根，上述方程的解有两种可能的情况： (1)当Ad，：4。z久。(2?：赢)时，特征方程有两个实根，Bpd。8些J挚墨已 由(475)式可作出A。f曲线，如图420所示。由曲线看出； 当fo时，AM，AM。；随时间的增长，曲线上半部逐渐下降；当fM时，Ad。AM。可见lA叨。久21zZZf时，捕获不可能发生。但是，由于频率牵引作用，环路平均频差AM接近于A。
14、，此时环路处于稳定差拍状态当AM。逐渐减小时，AM：与AM：合适渐靠扰 在A。趋近于足5天万了时，AMl将趋近于A。a，也趋近于AM。?这表明由于牵引作用，可使环路频差成小到原来的一半这个现象可以用实验清楚地证明。 根据上式可画出A。f曲线图， 如图42l所“先腮院深”品罗器默；品x翘腮器失态静tg而挡雨，于，“万羌5fr9c气绊；的羔外盒孟地到A。i因此，司把A4，勿，着作虾皮必始锁走所允许的最大固有频差值，井定义为此环路的捕授带，即 A。：d02久(zf：?n)；z尼(签专)；2尺(250。A。2V久(5g” 图d“zl非66三阶环貉捕获状态下 通常总满足2601勘，所以无源比例积分油 A。随时目变化自B 波器二阶环路的捕捉带为 A。，影2互员于 (478)考虑采用有源比例积分滤波器的二阶环时，由于又增大众倍，所以它的捕捉带为 AM，2五万不万z
