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1、第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程：方程y+py +qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中p、q均为常数.如果yi、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那么y=Cyi+C2y2就是它的通解.我们看看，能否适当选取r,使丫=“满足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=erx代入方程y+py +qy=0得( r 2+pr+q) erx =0.由此可见，只要r满足代数方程r2+pr
2、+q=0,函数y=erx就是微分方程的解.特征方程：方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py +qy=0的特征方程.特征方程的两个根ri、2可用公式p :p2 4qri,22求出.特征方程的根与通解的关系：(1) 特征方程有两个不相等的实根ri、r2时，函数y1 erix、y2 er2x是方程的两个线性无关的解.这是因为，iX函数yi erix、y2 er2x是方程的解，又1e(ri r2)x不是常数. y2 e2因此方程的通解为iX C r2X y Ciei C2e2 .(2) 特征方程有两个相等的实根ri=r2时，函数yi erix、y2 xerix是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性
3、无关的解这是因为,yi er1x是方程的解,又(xer1x)p(xerlX) q(xerlX) (2r1 xri2)eriX p(1 xr1Hx qxerlXerlX(2ri p) xerx(r12 pr q) 0,r4x所以y2 xer1x也是方程的解，且这 岑:x不是常数.y1e1因此方程的通解为y Ger1x C2xer1x.(3) 特征方程有一对共轲复根r1, 2=a ib时，函数y=e(a+ib)x、y=e(a ib)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.函数y=eaxcosbx、y=eaxsin bx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解函数y1 e(a+ib)Dy2 e(a
4、ib)x都是方程的解而由欧拉公式得x)x)1x 2(必 V21x 2i(y1 丫2)y 1 e(a+ib)x e x(cosx i siny2 e(a ib)x e x(cosx i sinxxy1y22ecosxex cosy1y22iexsin xe xsin故 eaxcosbx、y2=eaxsin bx 也是方程解可以验证，y=eaxcosbx、y2=eaxsin bx是方程的线性无关解.因此方程的通解为y=eax( Ccosbx+C2sin bx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y+py +qy=0的通解的步骤为第一步写出微分方程的特征方程2 r +pr+q=0第二步求出特征方程的两个
5、根八r2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 ，写出微分方程的通解.例1求微分方程y -2y -3 y=0的通解.解所给微分方程的特征方程为r2-2 r-3=0,即(r 1)( r 3) 0其根r1=-1, 2=3是两个不相等的实根，因此所求通解为y=Cex+Ce3x.例2求方程y+2y +y=0满足初始条件 y|x=(=4、y | x=-2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r 1)其根ri=2=1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C+Gx) ex.将条件y| x=0=4代入通解,得0=4,从而y=(4+ C2x) e-x.将上式对x求导，得y =( C2
6、-4- Cx)ex.再把条件y | x=0=-2代入上式，得Q=2.于是所求特解为x=(4+2x) e-x.例3求微分方程y -2y+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2 r+5=0特征方程的根为ri=12i2=12i是一对共轲复根因此所求通解为 x , _ 一 一 .一、 y=e (Ccos2 x+Gsin2 x).n阶常系数齐次线性微分方程：方程y(n) +piy(n-1) +p2 y(n-2) + pn-iy+pny=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程，其中P1,P2 ,Pn-1, pn都是常数阶常系数齐次Dny y 二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式，可
7、推广到n线性微分方程上去.引入微分算子D及微分算子的n次多项式L(D尸Dn +p1Dn-1 +P2 Dn-2 + pn-1 D+pn则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+pQn-1+p2 Dn-2 + pn-1D+pn) y=0 或 L(D) y 0注 D叫做微分算子D0y y Dy yD2y yD3y y分析 令y erx 则L(D) yL(D) erx (rn+p1n-1+p2 rn-2 + pn-11+pn) erx=L( r)erx因此如果r是多项式L(r)的根 则y erx是微分方程L(D) y 0的解 n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)rn+p1n-1+p2 rn-
8、2 + pn-1 r +pn0称为微分方程L(D) y 0的特征方程 特征方程的根与通解中项的对应 单实根r对应于一项：cex;一对单复根 ri, 2=aib 对应于两项：eax( Ccosbx+Gsin bx);k 重实根 r 对应于 k 项：erx(C+Gx+ Ckxk-1);一对k重复根ri, 2=aib对应于2k项：eax( G+Cx+ Ck xk-1)cos bx+( Di+Dx+ Dk xk-1 )sin bx.例4求方程y(4)-2y+5y =0的通解.解这里的特征方程为r4-2 r3+5r2=0,即 r 2( r2-2 r+5)=0,它的根是r尸2=0和3, 4=12i .因此
9、所给微分方程的通解为y=C+Cx+ex( C3cos2x+C4sin2 x).例5求方程y(4)+b 4y=0的通解，其中b 0.解这里的特征方程为r4+b4=0.它的根为r1 2i)， %, 4(1 i).因此所给微分方程的通解为一 xe 2 (C3cos 2 xC4sin- x).一xye2 (C1 cos- x C2sin-x)二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程：方程y+py +qy=f(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程，其中p、q是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y=y*(x)之和：y
10、=Y x)+ y *( x).当f(x)为两种特殊形式时，方程的特解的求法：一、f (x)= PKx) elx 型当f (x)=PKx)elx时，可以猜想，方程的特解也应具有这种形式.因此，设特解形式为y*=Qx)elx,将其代入方程，得等式 ,，、，一、一 ，、，2Q (x)+(2|+p)Q (x)+( l2+pl +q)Q(x)=Pn(x).(1) 如果l不是特征方程r2+pr+q=0的根，则12+pl+q 0.要使上式成立，Qx)应设为m次 多项式：Qm(x)= b0xm+b1xm1 + bm1 x+ bm ,通过比较等式两边同次项系数，可确定b0, b1,bm,并得所求特解y*=Qx)
11、elx.(2) 如果l是特征方程r2+pr+q=0的单根，则12+pl+q=0,但2l+p 0,要使等式-一-一 2.-一Q(x)+(2 1+p)Q (x)+( 1 +p1 +q) Q(x)= Pm(x).成立，Q(x)应设为n+1次多项式：Q (x)= xQn( x),Qm( x)=boxm+bixm1 + bmix+bm,通过比较等式两边同次项系数，可确定bo, bi,bm,并得所求特解y*=xQn(x) elx.(3) 如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根，则12+pl+q=0, 2 1 +p=0,要使等式 -一-一 2.-一Q(x)+(2 1+p)Q (x)+( 1 +p1 +q
12、) Q(x)= Pm(x).成立，Q x)应设为n+2次多项式： 一2 一Q(x)=xQ(x),Qm(x)= boxm+bixm1 + bn-1 x+ bm,通过比较等式两边同次项系数，可确定bo, bi, bm,并得所求特解y*=x2Q(x) e1x.综上所述，我们有如下结论：如果f(x)=Pm(x)e1x,则二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py +qy = f(x)有形如k _1xy*=x Q(x)e的特解，其中Q(x)是与P(x)同次的多项式，而k按1不是特征方程的根、是特征方程的单根 或是特征方程的的重根依次取为0、i或2.例i求微分方程y -2y -3y=3x+i的一个特解. 一
13、、 . 一一、 一一一 一、 . .一一.1x . . 、解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数f(x)是P(x)e型(其中Pn(x)=3x+i,1 =0).与所给方程对应的齐次方程为y-2 y-3 y=0,它的特征方程为r2-2 r-3=0.由于这里1 =0不是特征方程的根，所以应设特解为y*=b0x+bi.把它代入所给方程，得-3bx-2 b0-3 bi=3x+i,比较两端x同次哥的系数，得3bo 32b0 3bi i-3 bo=3, -2 b0-3 bi=i.由此求得bo=-i,n 1.于是求得所给方程的一个特解为1 3y*例2求微分方程y -5 y +6y=xe2x的通解解所给方
14、程是二阶常系数非齐次线性微分方程且f(x)是出刈4型(其中Pm(x)=x, l=2).与所给方程对应的齐次方程为y-5 y +6y=0,它的特征方程为r 2-5 r +6=0.特征方程有两个实根ri=2,r2=3.于是所给方程对应的齐次方程的通解为2x 3xY=Ce +Ce .由于l =2是特征方程的单根，所以应设方程的特解为y*=x( box+bi)e2x.把它代入所给方程，得-2box+2bo- bi=x.比较两端x同次哥的系数，得2bo 12b0 b1 0-2 b0=1,2 tbr bi=0.由此求得b01, bi=-1.于是求得所给方程的一个特解为y* x( 2x 1)e2x.从而所给方程的通解为y C1e2x C2e3x 1(x2 2x)e2x.提示y*=x( box+b1) e2x (b0x2+b1 x) e2x(b0x2+b1x) e2x(2 b0x+b1)(bx2+bx)x2 e2x(bx2+b1x)e2x2b02(2 Axb1)x 2(b0x2+b1x)x 22e2x_2.2x22x_2,2xy*5y*6y*( 4x +b1x)
