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1、 分块矩阵及其应用【摘要】矩阵论是代数学中是一个重要的组成部分和主要的研究对象。而分块矩阵可以降低较高级数的矩阵级数,使矩阵的结构更加清晰,从而使矩阵的相关计算简化,并且可以证明一些与矩阵有关的问题。 本文详细且全面论述了分块矩阵阵的概念、分块矩阵的运算和其初等变换,而且证明了矩阵的分块在高等代数中的应用,包括用分块矩阵证明矩阵秩的问题,用分块矩阵求行列式问题,用分块矩阵求逆矩阵的问题,分块矩阵相似的问题。【关键词】:分块矩阵;矩阵的秩;逆矩阵;行列式目录1引言.22矩阵分块的定义和性质.2 2.1 矩阵分块的定义.2 2.2 分块矩阵的运算.2 2.3 分块矩阵的初等变换.3 2.4 n阶准
2、对角矩阵的性质.33分块矩阵在高等代数中的应用.4 3.1 分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用.4 3.2 利用分块矩阵计算行列式.7 3.3 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 .11 3.4 分块矩阵在解线性方程组方面的应用.164总结.19参考文献.201 引言 矩阵是高等代数中的一个重要内容,也是高等数学的很多分支研究问题的工具。在学习高等代数的时候常常碰到一些很难的问题,我们要经常用到矩阵的分块去解决,它可以使矩阵的结构更简单,从而使问题的解决更简明。比如当我们处理阶数较高或具有特殊结构的矩阵时,用处理一般低阶矩阵的方法,往往比较困难,为了研究问题的方便,也为了显示出矩阵中某些部分的特性
3、,我们常把一个大型矩阵分成若干子块,把每个子块看作一个元素,从而构成一个分块矩阵,这是处理矩阵问题的重要技巧。利用矩阵的分块,可以把高阶矩阵划分成阶数较低的“块”,然后对这些以“块”为元素的矩阵施行矩阵的运算。本文就分块矩阵的加法、乘法、转置、初等变换等运算性质,及分块矩阵在证明矩阵相关秩的问题、矩阵求逆、行列式展开计算等方面的应用作了较为深入的研究。矩阵的分块能使矩阵的一些证明和计算变的非常简洁和快速,易于理解和掌握,而且能开拓思维,提高灵活应用知识解决问题的能力。2 分块矩阵的定义和性质2.1分块矩阵的定义 矩阵分块,就是把一个大矩阵看成一些小矩阵组成的,当运算时,把这些小矩阵当做一些数来
4、处理,给矩阵的运算带来了方便。 设A是数域P上的矩阵,将A的行分割r段,每段分别包含个行,又将A的列分割为s段,每段包含个列。于是A可用小块矩阵表示如下:A=其中是矩阵,这种分割法称为矩阵的分块。 2.2分块矩阵的相关运算性质2.21.加法运算:设为同型矩阵(行和列数分别相等)。 若采用相同的分块法, A= B= 则可以直接相加。2.22乘法运算:设AB=C(A、B为同型矩阵且有相同分块方式),则C有如下分块形式: C=, 其中 2.23.分块矩阵的转置:一般地,设A=是一个分块矩阵,那么分块矩阵取转置的规则: 第一步:把的每一块都看成元素(数)取转置 第二步:对的每一块取转置。2.3.分块矩
5、阵的初等变换 分块矩阵的初等变换是处理分块矩阵有关问题的重要工具,我们可以 根据矩阵的初等行变换推广得到如下定义: 定义:以下三种变换称为分块矩阵的初等行变换 (1)用一个行列式不为零的方阵左乘(右乘)分块矩阵的某一块行。 (2)互换两块行的位置。 (3)把一个块行的(矩阵)倍(即这个块行里每一个小矩阵都左乘或右乘一个矩阵)加到另一块行上。2.4. n阶准对角矩阵有如下性质: (1)对于两个同类型的n阶准对角矩阵(其中同为阶方阵), A= B=,有:AB= (2); (3)A可逆等价于可逆,且。 2.5分块矩阵相似的条件 定义1:设为阶分块矩阵,若存在可逆分块矩阵,使得则称相似于,记作。对进行
6、矩阵的积运算称为对进行相似变换,可逆分块矩阵称为把变成的相似因子阵。相似是分块矩阵间的一种特殊的等价关系,即两个相似分块矩阵是等价分块矩阵;反之不然。这就是说相似关系具有一下性质:1) 反身性 ;2)对称性 若,则;3)传递性 。设由定义还可得到相似矩阵的以下运算性质:1)2)3)4)其中中的任意一个多项式。特别有。定理1 两个对角矩阵相似的充要条件为对角线上的元素相同,只是排列顺序不同。证明:设A,B是两个对角矩阵且A相似于B,则由相似矩阵的性质知,存在可逆矩阵X,使得,即于是有又由A,B为对角矩阵知,上式成立的充要条件是对角线上元素相同,仅仅排列顺序不同。定义2 设是定义在全体阶分块矩阵聚
7、合上的函数,若对中的任意两个相似矩阵A和B,总有,则称为相似不变量。定理2 矩阵的行列式是相似不变量。证明:设,则存在可逆矩阵X,使得,于是这说明行列式是相似不变量。3分块矩阵在高等代数中的应用3.1分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用 定理 1 设A是数域P上mn矩阵,B是数域P上 ns矩阵,于是秩min秩,秩,即乘积的秩不超过各因子的秩。证明 : 为了证明此定理,只需证明秩(AB)秩(A),同时秩(AB)秩 (B)。现在来分别证明这两个不等式。令=,, 则() 可由线性表示 秩秩,即秩秩秩 令, 所以 即 可由线性表示 秩秩,即秩秩秩 即秩 定理 2 设、都是nn矩阵,证明:若,那么秩秩.证
8、明:对分块如下: 由于 即 即 说明的各列都是的解.从而秩基础解系的维数秩 即秩秩 3.2分块矩阵在其他相关矩阵秩的证明上的应用例 设、都是阶矩阵,求证:秩秩+秩证明: 因为 (第2行(-E)+第1行) (第1列(-B-E)+第2列) 所以由初等变换知= 因为,都可逆 所以秩=秩 而秩秩秩=秩+秩 所以秩秩+秩例2 设为矩阵,是从中取行得到的矩阵,则证明:不妨设是的前S行,而后行构成的矩阵为,则 又显然有 于是例3设A为s n矩阵,则有秩()-秩()=n-s证明:因为=又因为可逆所以秩=秩,而秩=秩 ()+n 所以秩=秩=秩()+n (1)又因为= 同理可得 秩=秩=秩() +s (2) (1
9、)、(2)式相减即得秩()-秩()=n-s 3.2 利用分块矩阵计算行列式3.1引理设矩阵 H=或H=其中A1,A2,As是实矩阵,且均为方阵,则|H|=|A1|A2|As|3.2利用分块矩阵计算行列式 设A、B分别为m与n阶方阵.计算行列式= 矩阵A或B可逆时行列式|H|的计算 命题1设A、B分别为m与n阶方阵.证明: (1)当A可逆时,有= (2)当B可逆时,有= 证(1)根据分块矩阵的乘法,有由引理知,两边取行列式即得(1). (2)根据分块矩阵的乘法,有两边取行列式即得(2).注意:利用命题1解题时,要注意条件:矩阵A或B可逆. 推论1设A,B,C,D分别是m,n,nm和mn矩阵.证明
10、 (1) (3) (2) |A-DC|. (4) 证明:只需要在命题1的(1)中令A=Em,即得(3);在(2)中令B=En,即得(4). 推论2C,D分别是nm和mn矩阵.证明: (5)证明:证明在推论1的(3)中,令B=En,在(4)中,令A=Em,即得(5).例1计算下面2n阶行列式|= (a0)解令A=,B=,C=,D=且都为n阶方阵.由于a0,故A为可逆方阵.又易知从而由命题1中(1)得|=例2计算行列式 ,(ai0,i=1,2,n); 解设Q=,其中A=(),B=,C= ,D= 因为ai0,i=1,2,n,所以B是可逆矩阵.又易知从而由命题1中的(2)得= .= 例3:设行列式 ,
11、 试展开. 解:把矩阵进行分块如下:=;其中当,可逆。此时选取矩阵: 则有:上面等式两边取行列式,便有 ; 但是 这样有 = 当时,也可以表示为上述形式,所以行列式的展开式为:.3.3 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或者初等变换的方法来解决,而此类方 法对级数较高的矩阵运算量较大,这时我们可以运用分块矩阵,求出非奇异分块矩阵A的逆,得相应子块的逆,即用相应的分块形式得出分块矩阵的逆。 命题1 设是一个四分块方阵,其中为阶方阵, 为阶方 阵,当与都是可逆矩阵时,则是可逆矩阵,并且 特例 当,与都可逆时,有. 当,与都可逆时,有 当,与都可逆时,有 证明: 设可逆,且,其中为阶方阵,为阶的方阵. 则应有 即 , 于是得到下面的等式XA+YC=E(1) XB+YD=0(2) ZA+WC=0(3) ZB+WD=E(4) 因为可逆,用右乘(2)式可得 代入(1)式得 则. 用右乘(4)式可得