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1、2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(2013课标全国,理1)已知集合Mx|(x1)24,xR,N1,0,1,2,3,则MN()A0,1,2 B1,0,1,2 C1,0,2,3 D0,1,2,32(2013课标全国,理2)设复数z满足(1i)z2i,则z()A1i B1I C1i D1i3(2013课标全国,理3)等比数列an的前n项和为Sn.已知S3a210a1,a59,则a1()A B C D4(2013课标全国,理4)已知m,n为异面直线,m平面,n平
2、面.直线l满足lm,ln,l,l,则()A且l B且lC与相交,且交线垂直于l D与相交,且交线平行于l5(2013课标全国,理5)已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5,则a()A4 B3 C2 D16(2013课标全国,理6)执行下面的程序框图,如果输入的N10,那么输出的S()A BC D7(2013课标全国,理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为()8(2013课标全国,理8)设alog36,blog510,clog71
3、4,则()Acba Bbca Cacb Dabc9(2013课标全国,理9)已知a0,x,y满足约束条件若z2xy的最小值为1,则a()A B C1 D210(2013课标全国,理10)已知函数f(x)x3ax2bxc,下列结论中错误的是()Ax0R,f(x0)0B函数yf(x)的图像是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(,x0)单调递减D若x0是f(x)的极值点,则f(x0)011(2013课标全国,理11)设抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy
4、24x或y216x Dy22x或y216x12(2013课标全国,理12)已知点A(1,0),B(1,0),C(0,1),直线yaxb(a0)将ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是()A(0,1) B C D第卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题,考生根据要求做答。二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13(2013课标全国,理13)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则_.14(2013课标全国,理14)从n个正整数1,2,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为,则n_.15(2013
5、课标全国,理15)设为第二象限角,若,则sin cos _.16(2013课标全国,理16)等差数列an的前n项和为Sn,已知S100,S1525,则nSn的最小值为_三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17(2013课标全国,理17)(本小题满分12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知abcos Ccsin B.(1)求B;(2)若b2,求ABC面积的最大值18(2013课标全国,理18)(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1ACCB.(1)证明:BC1平面A1CD;(2)求二面角DA1CE的正弦值19(
6、2013课标全国,理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品以X(单位:t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将T表示为X的函数;(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量
7、X100,110),则取X105,且X105的概率等于需求量落入100,110)的频率),求T的数学期望20(2013课标全国,理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:(ab0)右焦点的直线交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CDAB,求四边形ACBD面积的最大值21(2013课标全国,理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)exln(xm)(1)设x0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(2)当m2时,证明f(x)0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,
8、则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22(2013课标全国,理22)(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,CD为ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BCAEDCAF,B,E,F,C四点共圆(1)证明:CA是ABC外接圆的直径;(2)若DBBEEA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值23(2013课标全国,理23)(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t与t2(02),M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数
9、,并判断M的轨迹是否过坐标原点24(2013课标全国,理24)(本小题满分10分)选修45:不等式选讲设a,b,c均为正数,且abc1,证明:(1)abbcac;(2).2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1答案:A解析:解不等式(x1)24,得1x3,即Mx|1x3而N1,0,1,2,3,所以MN0,1,2,故选A.2答案:A解析:1i.3 答案:C解析:设数列an的公比为q,若q1,则由a59,得a19,此时S327,而a210a199,不满足题意,因此q
10、1.q1时,S3a1q10a1,q10,整理得q29.a5a1q49,即81a19,a1.4答案:D解析:因为m,lm,l,所以l.同理可得l.又因为m,n为异面直线,所以与相交,且l平行于它们的交线故选D.5答案:D解析:因为(1x)5的二项展开式的通项为(0r5,rZ),则含x2的项为ax(105a)x2,所以105a5,a1.6答案:B解析:由程序框图知,当k1,S0,T1时,T1,S1;当k2时,;当k3时,;当k4时,;当k10时,k增加1变为11,满足kN,输出S,所以B正确7 答案:A解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系Oxyz的图像为下图:则它在平面zOx上的投影即正视图为
11、,故选A.8答案:D解析:根据公式变形,因为lg 7lg 5lg 3,所以,即cba.故选D.9答案:B解析:由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示,作直线2xy1,因为直线2xy1与直线x1的交点坐标为(1,1),结合题意知直线ya(x3)过点(1,1),代入得,所以.10答案:C解析:x0是f(x)的极小值点,则yf(x)的图像大致如下图所示,则在(,x0)上不单调,故C不正确11答案:C解析:设点M的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|x05,则x05.又点F的坐标为,所以以MF为直径的圆的方程为(xx0)(yy0)y0.将x0,y2代入得px084y00,即4y080,所以
12、y04.由2px0,得,解之得p2,或p8.所以C的方程为y24x或y216x.故选C.12 答案:B第卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题,考生根据要求做答。二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13答案:2解析:以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则点A的坐标为(0,0),点B的坐标为(2,0),点D的坐标为(0,2),点E的坐标为(1,2),则(1,2),(2,2),所以.14答案:8解析:从1,2,n中任取两个不同的数共有种取法,两数之和为5的有(1,4),(2,3)2种,所以,即,解得n8.15答案:解析:由,得tan ,即sin cos .将其代入sin2cos21,得.因为为第二象限角,所以cos ,sin ,sin cos .16答案:49解析:设数列an的首项为a1,公差为d,则S1010a145d0,S1515a1105d25.联立,得a13,所以Sn.令f(n)nSn,则,.令f(n)0,得n0或.当时,f(n)0,时,f(n)0,所以当时,f(n)取最小值,