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1、第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512( ).(A) 0 (B) (C) (D) 23. ( ).(A) 0 (B) (C) (D) 24在函数中项的系数是( ). (A) 0 (B) (C) (D) 25若，则 ( ). (A) (B) (C) (D)6 已知4阶行列式中第1行元依次是, 第3行元的余子式依次为, 则( ).(A) 0 (B) (C) (D) 27. 若，则中第四行元的余子式的和为( ).(A) (B) (C) (D)8. 等于下列选项中哪个值时，齐次
2、线性方程组有非零解. ( ) (A) (B) (C) (D)二、填空题1在六阶行列式中项所带的符号是.2四阶行列式中包含且带正号的项是.3若一个阶行列式中至少有个元素等于, 则这个行列式的值等于.4. 行列式.5行列式.6已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.7设行列式，为D中第四行元的代数余子式，则.8齐次线性方程组仅有零解的充要条件是.9若齐次线性方程组有非零解，则=.三、计算题1；2解方程； 第二章 矩阵一、单项选择题1. A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是( a )。(a) (b) (c) (d) 2.设方阵A、B、C满足A
3、B=AC,当A满足( b )时，B=C。(a) AB =BA (b) (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B、C可逆 3.若为n阶方阵，为非零常数，则( c )。(a) (b) (c) (d) 4.设，为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( b )。(a) (b) (c) (d) 5.设为n阶方阵,为的伴随矩阵,则( d )。(a) (b) (c) (d) 6. 设为3阶方阵,行列式,为的伴随矩阵,则行列式( a )。(a) (b) (c) (d) 7. 设，为n阶方矩阵,则下列各式成立的是( d )。(a) (b) (c) (d) 8. 设，均为n阶方矩阵,则必有( c )。(a) (b)
4、 (c) (d) 9.如果，则（ b）。 （a） (b) (c) (d) 10.已知，则（ ）。 (a) (b) （c） （d） 11.设为同阶方阵，为单位矩阵，若，则（ b ）。（a） （b） （c） （d） 12.，为n阶非零矩阵，且，则秩()和秩()( c )。(a)有一个等于零 (b)都为n (c)都小于n (d)一个小于n，一个等于n 13.n阶方阵可逆的充分必要条件是( b )。(a) (b) 的列秩为n(c) 的每一个行向量都是非零向量 (d)伴随矩阵存在 14.n阶矩阵可逆的充要条件是( d )。(a) 的每个行向量都是非零向量(b) 中任意两个行向量都不成比例(c) 的行向量
5、中有一个向量可由其它向量线性表示(d)对任何n维非零向量，均有 二、填空题1.设为n阶方阵,为n阶单位阵,且,则行列式 2.行列式_ 3.设为5阶方阵，是其伴随矩阵，且，则81 4.设4阶方阵的秩为2，则其伴随矩阵的秩为0 5.设为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量，均有，则的秩为_ 三、计算题1.解下列矩阵方程(X为未知矩阵).,其中；2.已知,求. 3.求非奇异矩阵,使为对角阵. 1) 2) 四、证明题1. 设、均为阶非奇异阵,求证可逆.2. 设(为整数), 求证可逆.3.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。4.设为n阶方阵，为n阶单位矩阵，且。试证：可逆，并求
6、。第三章 一、单项选择题1. ， 都是四维列向量，且四阶行列式,则行列式 2. 设为阶方阵，且,则（ ）。3. 设为阶方阵，则在的个行向量中（ ）。4. 阶方阵可逆的充分必要条件是（ ）5. 维向量组线性无关的充分条件是( )都不是零向量中任一向量均不能由其它向量线性表示中任意两个向量都不成比例中有一个部分组线性无关6. 维向量组线性相关的充要条件是( ) 中至少有一个零向量中至少有两个向量成比例中任意两个向量不成比例中至少有一向量可由其它向量线性表示7. 设均为维向量,那么下列结论正确的是( )若,则线性相关若对于任意一组不全为零的数,都有,则线性无关若线性相关,则对任意不全为零的数,都有若
7、,则线性无关8. 若向量可被向量组线性表示，则（ ）存在一组不全为零的数使得存在一组全为零的数使得存在一组数使得对的表达式唯一9. 下列说法正确的是（ ）若有不全为零的数，使得，则线性无关若有不全为零的数，使得，则线性无关若线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示任何个维向量必线性相关10. 设是向量组，的线性组合，则=（ ） 二、填空题1. 若，线性相关，则t=。2. n维零向量一定线性关。3. 向量线性无关的充要条件是。4. 若线性相关，则线性关。5. n维单位向量组一定线性。6. 设向量组的秩为r,则 中任意r个的向量都是它的极大线性无关组。7. 设向量与正交，则。8. 正交向量组
8、一定线性。9. 若向量组与等价，则的秩与的秩。10. 若向量组可由向量组线性表示，则。11. 向量组，的线性关系是。12. 设，若是标准正交向量，则x和y的值.三、计算题1. 设，问（1）为何值时，能由唯一地线性表示？（2）为何值时，能由线性表示，但表达式不唯一？（3）为何值时，不能由线性表示？解：设 则对应方程组为 其系数行列式（1）当时，方程组有唯一解，所以可由唯一地线性表示;（2）当时，方程组的增广阵 ， ，方程组有无穷多解，所以可由线性表示，但表示式不唯一;（3）当时，方程组的增广阵，方程组无解，所以不能由线性表示。2. 设，问： （1）为何值时，不能表示为的线性组合？（2）为何值时，
9、能唯一地表示为的线性组合？解:以为列构造矩阵（1）不能表示为的线性组合；（2）能唯一地表示为的线性组合。3. 求向量组，的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。解：为一个极大无关组，且, 4. 设，t为何值时线性相关，t为何值时线性无关？解：，当时线性相关，当时线性无关。四、证明题1. 设，试证线性相关。.证：线性相关2. 设线性相关，而线性无关，证明能由线性表示且表示式唯一。证：线性相关 存在不全为零的数使得若，则，（）与线性无关矛盾所以 于是 能由线性表示。设 则-得线性无关 即表示法唯一3. 设线性相关，线性无关，求证不能由线性表示。证：假设能由线性表示线性无关，线性无
10、关线性相关，线性表示， 能由线性表示，从而线性相关，矛盾不能由线性表示。4. 证明：向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合。证：必要性 设向量组线性相关 则存在不全为零的数使得不妨设，则， 即至少有一个向量是其余向量的线性组合。充分性设向量组中至少有一个向量是其余向量的线性组合不妨设则，所以线性相关。第四章 线性方程组一、单项选择题1设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则有非零解的充分必要条件是（ ）(A) (B) (C) (D) 2设是矩阵，则线性方程组有无穷解的充要条件是（ ） (A) (B) (C) (D) 3设是矩阵，非齐次线性方程组的导出组为，若，则（ ） (A) 必有无穷多解 (B) 必有唯一解 (C) 必有非零解 (D) 必有唯一解4 已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，是导出组的基本解系，为任意常数，则的通解是（ ）(A) (B) (C) (D) 5设为矩阵，则下列结论正确的是（ ）(A) 若仅有零解 ，则有唯一解 (B) 若有非零解 ，则有无穷多解 (C) 若有无穷多解 ，则仅有零解 (D) 若有无穷多解 ，则有非零解6设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充要条件为（ ）(A) 的列向量线性无关 (B) 的列向量线性相
