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1、 探讨“类双曲线中的面积定值问题”(一)三角形的面积定值(2014福建省高考)19.(本小题满分13分) 已知双曲线的两条渐近线分别为. (1)求双曲线的离心率; (2)如图,为坐标原点,动直线分别交直线于两点(分别在第一, 四象限),且的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线有且只有一个公 共点的双曲线?若存在,求出双曲线的方程;若不存在,说明理由。解:(1)双曲线E的离心率e(2)假设存在满足条件的双曲线E,可设:上的任一点M,则过点M的切线方程,设动直线分别交直线于,两点 所以,即 ,即 由得, 又所以而 28,即:所以故双曲线E的方程为优点 回避讨论切线的斜率k是否存在,又简化计算扩展思
2、考(逆向设问):如图,为坐标原点,双曲线E的方程为的任意一点的切线分别交直线于两点(分别在第一, 四象限),试探究:的面积是否恒为定值,若存在,求出定值;若不存在,说明理由扩展思考(类比推理)为坐标原点,函数上任意一点的切线分别交x轴,y轴于A,B两点,求证:的面积恒为定值2扩展思考(逆向设问):如图,为坐标原点,已知函数 的图像上第一象限内任意一点的切线分别交y轴与直线于两点,试探究:的面积是否恒为定值,若存在,求出定值;若不存在,说明理由解:假定的面积恒为定值设切点M,则切线l的方程,即:令得,故得函数图像与y轴交点A令,即,解得,故得函数图像与直线交于点,所以|OA|,故k所以,的面积恒为定值2k。(二)平行四边形的面积定值例题1(选修44,第31页)设M为双曲线上的任意一点,O为原点,过点M作双曲线两渐近线的平行线,分别于两渐近线交于A,B两点。探求平行四边形MAOB的面积,由此可以发现什么结论?类比例题2.设M为函数上任意一点M,为坐标原点,过点M作直线垂直于x轴,y轴于A,B两点,求证:四边形MAOB的面积恒为定值2扩展例题3.设点M为函数 的图像上第一象限内任意一点,为坐标原点,过点M分别作平行于y轴和直线l:,分别与y轴和直线l交于A,B两点,求证:四边形MAOB的面积恒为定值2