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1、第8章固体的弹性形变第八章固体的弹性形变内容：1、应力2、应变3、胡克定律弹性模量4、弹性势能5、扭转和弯曲形变要求：1要求明确掌握应力与应变的概念及其相互关系。2掌握杨氏模量、切变弹性模量、体变弹性模量的概念。3了解应变势能的意义。重点与难点：应力与应变的概念及其相互关系。杨氏模量、切变弹性模量、体变弹性模量的 概念。作业：P2951, 2, 3, 4#第8章固体的弹性形变第八章固体的弹性形变在前面的章节中，我们把物体当作刚体看待，认为物体受到力的作用后它的形状不会 改变。但实际上物体受外力作用时形状或多或少地会发生变化。当外力不很大时物体形状变 化也不大，如果去掉外力后物体能完全恢复到原来
2、的形状，就称这样的物体为弹性体，物体 相应的形变为弹性形变。如果作用在物体上的外力很大，引起物体的形变也很大，那么除掉 外力后物体就不能完全恢复到原样，这种特性称之为物体的塑性，例如汽车的外壳就是用金 属板模压而成的，压完后保持形状不变。总的来说弹性及塑性都是物质的重要特性，本章主 要讨论物体在弹性范围内的形变与外力之间的关系。物质是由大量的分子组成的，物质的弹性来源于分子间的相互作用力，不过从宏观上看 可以把整个物体看成由原子、分子组成的连续媒质，这时只需研究这种连续媒介整体受力与 整体形变的关系，而不必考虑物体中每个分子受力的行为。#第8章固体的弹性形变#第8章固体的弹性形变8.1应力与应
3、变1）应力在外力的作用下物体内分子之间的距离会发生变化从而引起物体内分子间相互作用力的变化（也称为物体内力的变化），这种内力的变化会带来物体体积的 变化。为了从宏观上描述这种内力的变化与物体形状变化之间的关系， 假想在物体内部任取一平面s （面元的取向可以是任意的），此平面s将物体分开为两部份，若分布在此截面两边的内力变化为=f f与-二f，则定义平面上的应力为（参见图8.1.0）Af/ 1厂/AF8.1. 1t lim3as。（1）在国际单位制中，应力的单位为牛顿/米2,简称为帕。对实际物体来说，如果受到的是拉力或压力如图8.1.1所示，常把假 想平面的法线取为沿外力的方向，而把上式定义的应
4、力称为张应力或正应 力，当外力是压力时（F= F）也称为压应力统一用_表示。显然在图/ 7A/F8. 1. 28.1.1中假想平面A两边内力的变化f二F，故张应力的大小就是如果作用在物体上的外力是力偶，如图 8.1.2所 示，常把假想平面A取为与外力平行，而把（1）式定 义的应力称为切应力或剪应力用表示，它形象地表示的变化二F，所以假想平面上剪应力的大小1.3出外力偶对物体的剪切效应。显然在8.1.2图中假想平面两边内力11由此看出剪应力与张应力的差别只是应力在平行于假想平面还是在垂直于假想平面上投影，但它们的作用效果完全不同。应力的概念对液体的表面也适用，如图8.1.3所示。不过液体的形状不
5、是固定的它随容器的形状变化，而且静止的液体表面只能承受压应力而不能承受剪应力。 另外，液体表面的压应力也称为压强用P表示。如果液体表 面的面积为S,液面表面正压力增加F则液体表面的压强（应力）改变2 ）应变当物体受外力作用时其长度、形状及体积都可能发生变化，这种变化与物体原来的长 度、形状及体积之比称为应变。每一种应力都有一对应的应变，我们把张应力作用引起的应 变称为张应变。设有一柱状物体（见图8.8.1）原来的长度为Lo,两端施以大小相等而反向的 拉力F后物体的长度变为L，这时柱体的伸长量为L Lo,由定义张应变#第8章固体的弹性形变在柱体受压力的情况下，上式也称为压应变。物体受剪应力作用产
6、生的应变叫做切应变。为方便起 见，设物体为一矩形物 体如图8.1.4所示，图中虚线表示物 体原来的形状，受到剪应力后物体的形状变成实线所示的 形状。剪应力产生的应变大小可用角形变确定，在弹性范 围内角实际上很小，可以用X和L。的比值表示（以弧度为单位）。由图8.1.4看出剪应变也可以看成是沿物体对角线 方向的拉伸与压缩形变。我们定义-x切应变-Lo液体表面的压强变化也能使液体产生压缩形变，而液体的形变通常是体积形变。我们定 义液体的体积变化与原体积比值为液体的体积应变，即体应变Vo由应变的定义可知，三种应变都是没有单位的纯数8.2胡克定律1）物质的弹性要想知道物质弹性的特点可以进行各种实验。拉
7、伸实验是一个即简单又典型的实验,通过实验可以找到物体内部应力与物体应变之间的关系。图8.2.1表示拉伸实验过程中样品的拉伸曲应力线。在拉力不太大时，（应力在1点下方）应 力与应变显线性关系，不同材料的斜率有所不川匕小下同，但基本性质却是一 样的。1点称为比例极MR卩限位置，超过这一点应力与应变不再呈正比变 化。应力 变化时应变比开始变化更大。虽然 应力和应变之间的关系在1点与2点 之间不再 是线性关系，但是当外力撒去后样品仍能恢复 到原来形状，因此2点也称为弹性极限。当物体内应力超过 2点以后，除去外力后物体的形状 不能完全恢复到原有的状态，有剩余形变存在属于塑性范围不再过多分析。 对一般材料
8、而言, 比例极限与弹性极限的位置靠得很近， 在精度要求不高的情况下，可以 视比例极限为弹性极 限。从实验得出的结论是：在比例极限范围内，物体内部的应力与物体的应变 成正比。应力的这一变化范围称为物体的弹性范围，物体在弹性范围内发生 的形变称之为弹性形变，应力与应变之间的比例系数称之为物体的弹性模量。由于应变是无量纲的纯数，所以在国际单位制中弹性模量的单位是牛顿/米2或 者帕Pa。2）胡克定律在弹性范围内任一弹性体内的应力和应变成正比，比例系数为弹性体的弹性模量，这一结论称为胡克定律。它是从大量的实验中总结出来的，不仅对张 应力成立对剪应力也成立， 下面就来分析胡克定律的几种常见表达式。如图8.
9、1.1所示，物体受到拉力或压力时会发生拉伸或压缩形变，通常把描述弹性体的拉伸或压缩弹性模量称为扬氏模量用 丫表示，于是描述张应力与张应变关系的胡克定律可写 成。xLo物体受剪应力时（如图8.1.2），我们把物体横向弹性形变的弹性模量称为切变模量用G 表示，这样描述剪应力与切应变关系的胡克定律可表述为。F LY -ALo称为液体对液体表面的压强变化引起的体积应变，我们把压强变化与体积应变的比值的体积弹性模量用k表示，相应的胡克定律就可以表示成AVpkV 。因为压强增加时（.p0）液体的体积减小，所以胡克定律中包含一负号。体积弹性模量的倒数也称为体积压缩系数，按照上式压缩系数可定义为11 V k
10、p v1o由此看出体积压缩系数是增加单位压强时体积的相对变化，也就是增加单位压 强时的体积应变量。为了对弹性模量的大小有一个数量级的概念，附表中给出了几种常见材料的弹 性模量，单位是牛顿/米2。一般材料的弹性模量数值可以通过查阅手册的方式得 至叽物体的一般形变都可以看成物体的两种基本弹性形变的组合形式即伸缩与 切变，例如弯曲和扭转等。表8-1常用材料的弹性模量材料杨氏模量切变模量钢2OFO108勺010锻铁1019咒1070）时，横向Db D（减少。物体原来的体积是v=abc,.拉伸后体积改变量 为v = ab c ac b cb a于是体积应变Vabc=+ +Vabc。利用前面两式得vaaa
11、F=-nn=(1 _ 2 )vaaabcY上式说明体积应变与张应变是可以通过泊松比相联系的。一般情况下，泊松比h的值总是小于0.5的，所以张应力作用下体积应变总是正值，也就是说物体受到拉伸的情况下物体的体积总是增大的。反之，当物体受压力作用时a/a*负数，物体的体积总是减少的，这时体积应变为-o- 2 )FbcY#第8章固体的弹性形变3 ）压缩系数表面积现在设想上面提到的六面体是正六面体，为方便起见，假定立方体六个面的均为A。如果在六面体的每个表面施加正压力 F,这时在六面体的六个面上都有同样大小压应力的作用（其大小为F/A），物体总体积应变为一对压应力的3倍，由上式知道这时立方体的体积应变为
12、V = -3( 2 ) FvAY。注意到物体表面的正压力F与压强的关系是P= F/A，于是上面的式子还可表示成vpn)pV丫。由体积弹性模量的定义p = kv，可以得到下式Y3(仁 2 )据弹性这就是体积弹性模量与扬氏模量之间的关系，它们可由泊松比联系。另外，根 理论还可以证明扬氏模量与切变模量有如下关系Y2(1 )当然，也可反过来用切变模量及体积弹性模量表示扬氏模量与泊松比Y3k G3k - 2Gn = 2(3k G)#第8章固体的弹性形变A曲率半径负号表示内力矩与外力矩方向相反 有由于桥梁平衡时受到的外力矩必定与内力矩相等,8.4弯曲与扭转1)桥梁的弯曲当桥梁负载重量时就会发生弯曲。为方便起见，假定桥梁的横截面为矩形(其高度为h宽度为b),桥梁的长度为d,两端点支撑力为N、N2,桥梁全部负荷为P。桥梁受力后会发生弯曲 形变如图8.4.1所示。假定全部负荷集中在桥梁的中点，于是N厂N2二P/2。为分析桥梁内部的应 力，在桥梁中点假想截面cc把桥梁从中间分开，成为左 右两段。从图8.4.1中可以看出，以cc C
