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1、第九章 重积分教学目的：1. 理解二重积分、三重积分的概念,理解重积分的性质,懂得二重积分的中值定理。2. 掌握二重积分的(直角坐标、极坐标)计算措施。3. 掌握计算三重积分的(直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算措施。8、会用重积分求某些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等)。教学重点：1、 二重积分的计算(直角坐标、极坐标)；2、 三重积分的(直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。 3、二、三重积分的几何应用及物理应用。教学难点:1、 运用极坐标计算二重积分;2、 运用球坐标计算三重积分;3、 物理应用中的引力问题。.二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1.曲顶柱
2、体的体积 设有一立体,它的底是O面上的闭区域D， 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面， 它的顶是曲面zf(x,y),这里（x, y)且在D上持续. 这种立体叫做曲顶柱体. 目前我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 一方面, 用一组曲线网把D提成n个社区域 Ds 1， Ds 2, ,D n 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线， 作母线平行于轴的柱面, 这些柱面把本来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体. 在每个Ds i中任取一点(xi, h i), 以 (x i， h i)为高而底为Dsi的平顶柱体的体积为 f (x ,h i）D (i=1, 2， , n ).这个平顶柱体体积之和 .
3、可以觉得是整个曲顶柱体体积的近似值.为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密,只需取极限, 即 . 其中l是个社区域的直径中的最大值. 2 平面薄片的质量. 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域， 它在点（x， )处的面密度为r(x, y), 这里（x, y)且在D上持续. 目前要计算该薄片的质量M. 用一组曲线网把提成n个社区域 D 1， Ds 2, ,D 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量: r(x ， h i)Dsi. 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值: . 将分割加细,取极限， 得到平面薄片的质量 . 其中是个社区域的直径中的最大值 定义设f(x， y)是有界闭区域上的有界
4、函数.将闭区域D任意提成个小闭区域 D , D , ， Dn .其中D i表达第i个社区域,也表达它的面积. 在每个D上任取一点( i, hi), 作和 . 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数(x, ）在闭区域D上的二重积分， 记作， 即 .（x, y)被积函数, f（x,y)s被积体现式, s面积元素, x,y积分变量, D积分区域，积分和 直角坐标系中的面积元素: 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D，那么除了涉及边界点的某些小闭区域外, 其他的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域Di的边长为Dxi和Dyi, 则DsiDxiD, 因
5、此在直角坐标系中，有时也把面积元素ds记作y,而把二重积分记作 其中dd叫做直角坐标系中的面积元素. 二重积分的存在性: 当f（x，)在闭区域上持续时， 积分和的极限是存在的, 也就是说函数(x， y）在上的二重积分必然存在.我们总假定函数f（x， y)在闭区域D上持续, 因此f(， ）在D上的二重积分都是存在的. 二重积分的几何意义: 如果(x, y)， 被积函数(, ）可解释为曲顶柱体的在点(x, y)处的竖坐标， 因此二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f(x, ）是负的,柱体就在xy面的下方， 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的. 二. 二重积分的性质 性质
6、设1、2为常数, 则 性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域,则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和. 例如D分为两个闭区域D1与D2,则 . 性质 （s为D的面积). 性质如果在D上, f(x, y)g(x， y）, 则有不等式 . 特殊地有 . 性质5 设、分别是f（x, y)在闭区域上的最大值和最小值,s为D的面积， 则有 . 性质(二重积分的中值定理) 设函数f（x, y)在闭区域D上持续, 为D的面积, 则在D上至少存在一点(, h)使得 . 2 二重积分的计算法 一、运用直角坐标计算二重积分 -型区域: D : j1(x)y()， axb. Y -型区域：
7、 D ： y1(x)y2(x),cd . 混合型区域: 设f（x, ）0， D=（x, y)| j1(x）yj2（), ax. 此时二重积分在几何上表达以曲面=f（, y)为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积. 对于x0a， b, 曲顶柱体在=的截面面积为以区间j(x）, 2(0)为底、以曲线z=f(x0,y）为曲边的曲边梯形，因此这截面的面积为 根据平行截面面积为已知的立体体积的措施, 得曲顶柱体体积为 . 即 V=可记为 . 类似地,如果区域D为 -型区域: D:y（x)y2(x)， cyd , 则有 例1. 计算, 其中D是由直线y1、=2及y=x所围成的闭区域. 解: 画出区域. 措施
8、一. 可把D当作是-型区域:x2, 1x.于是 注:积分还可以写成. 解法2 也可把当作是Y型区域： 1y2， yx. 于是. 例. 计算,其中D是由直线y1、=-1及y=所围成的闭区域. 解 画出区域D, 可把D当作是X-型区域：-1x1, . 于是 . 也可当作是Y-型区域:1y1, -1xy. 于是 . 例3 计算， 其中D是由直线y=x-及抛物线y2=x所围成的闭区域 解积分区域可以表达为D=D+2，其中; . 于是 . 积分区域也可以表达为D： -1y2， y2x+. 于是 .讨论积分顺序的选择. 例4 求两个底圆半径都等于r的直交圆柱面所围成的立体的体积 解 设这两个圆柱面的方程分
9、别为 x2+y2=r 2及2+2=r 2. 运用立体有关坐标平面的对称性, 只要算出它在第一卦限部分的体积1,然后再乘以就行了第一卦限部分是以=（x, )0y， 0xr为底，以顶的曲顶柱体 于是 . 二. 运用极坐标计算二重积分 有些二重积分, 积分区域 的边界曲线用极坐标方程来表达比较以便， 且被积函数用极坐标变量r 、q体现比较简朴 这时我们就可以考虑运用极坐标来计算二重积分. 按二重积分的定义. 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式. 以从极点出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域, 小闭区域的面积为: , 其中表达相邻两圆弧的半径的平均值. 在
10、Dsi内取点,设其直角坐标为（x i, i),则有 , .于是 , 即 . 若积分区域可表达为j 1(q)r(q), qb， 则 . 讨论:如何拟定积分限？ . . 例.计算,其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域. 解在极坐标系中, 闭区域D可表达为 ra ， 0q 2p 于是 . 注: 此处积分也常写成. 运用计算广义积分： 设1=(x,y)x+yR2,0，y, 2=(x, y）|2+y2R2,0, y0, =(x,y）|0xR, R. 显然D1SD2. 由于, 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式 . 由于 ， 又应用上面已得的成果有 , ,于是上面的不等式可写成令+,
11、 上式两端趋于同一极限， 从而. 例6 求球体xy2+z2a2被圆柱面x2+y=2ax所截得的(含在圆柱面内的部分）立体的体积. 解 由对称性， 立体体积为第一卦限部分的四倍 , 其中为半圆周及x轴所围成的闭区域. 在极坐标系中D可表达为 0r2 cos , . 于是 . .3 三重积分一、三重积分的概念 定义设f(x,y, z)是空间有界闭区域W上的有界函数. 将W任意提成n个小闭区域 D1, Dv, ,Dvn 其中Di表达第i个小闭区域, 也表达它的体积. 在每个Di上任取一点(，hi, zi)， 作乘积f(xi, i, z i)Dvi(, , , n)并作和. 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f（x, y, z）在闭区域W上的三重积分, 记作. 即 . 三重积分中的有关术语: 积分号, f(x， y, z)被积函数, f(x，y, z)dv被积体现式， dv体积元素, ， z积分变量, W积分区域. 在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的平面来划分W, 则Dvi=Dxi DyDi , 因此也把体积元素记为v =xdydz, 三重积分记作
