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1、证明题1. F = 所有复数a + bi, （ a，b是有理数）。则F对于普通加法和乘法来说是一 个域。2. aL】是有理数域r上一元多项式环，证明RL的理想但。是主理想。3. 设。和b是一个群G的两个元且ab = ba，又设a的阶W = m , b的阶网=n， 并且（m，n）=，证明：ab 的阶ab = mn。4. F = 所有实数a + b方,（a，b是有理数）。证明，F对于普通加法和乘法来 说是一个域。5. 设群G与群G同态，N是G的一个不变子群，N是N的逆象，证明 GN = GN。6. R是由所有复数a + bi （ a，b e Z ）所作成的环，证明鬲+ 是一个域。7. F = 所有
2、实数a +屿，（a，b是有理数）。证明，F对于普通加法和乘法来 说是一个域。8. RL是整数环R上一元多项式环，证明在人中侦。是极大理想的充要条件 是n是一个素数。9. R是由所有复数a + bi （ a，b e Z ）所作成的环，证明R+ ）是一个域。10. 设群G与群G同态，N是G的一个不变子群，N是N的逆象，证明 GN = GN。11. F = 所有复数a + bi, （ a，b是有理数）。证明，F对于普通加法和乘法来 说是一个域。（10分）12. aL是有理数域R上一元多项式环，证明的理想G,x）是主理想。（8分）13. 设R是Z上的二阶矩阵环，日是元素均为偶数的二阶矩阵构成的集合。证
3、明日是R的理想，并最简形式写出剩余类环R h的全部元。（10分）14. 设G是一个循环群，N是G的子群，证明G N也是循环群。（8分）15. 设M，N都是群G的不变子群，且M g N。证明商群G M与GN同态。（10分）16. 设。和b是一个群G的两个元且ab = ba，又设a的阶叫=m，b的阶网=n， 并且（m，n） =1，证明：ab 的阶ab = mn。17. 设 R 为实数集，Va，b e R，a 2 0，令 f（a,b）： R - R，x a a + b，Vx e R，将R 的 所有这样的变换构成一个集合G （ab） R，a 0l试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。4A-7 II
4、 I I I + / + bla e I，b e I 林曰18. 设,1和2为环R的两个理想，试证/ 2和12，12都是R的理想。19.设R是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R中的非零元不是可逆元就 是零因子。20.设 R 为实数集，Va，b e R，a 丰 0，令 f（a,b）： R -虬 x a ax + b Vx e R，将R 的 所有这样的变换构成一个集合G = （a,b） Va，b R，a l试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。c 1 、几 I IJ T I I +1 = a + bla e I , b e I 曰21.设,1和,2为环R的两个理想，试证I 2和1212都是R的理想。22.设环R与环R同态，甲是同态满射，H是R的一个不变子群，H是N在甲之下的逆象，证明:
