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1、张量的背景及概念1刖百自学弹力以来对于张量的理解成为一个普遍的问题。作为一个不理解就记不 住东西的人,我查阅了几本关于张量的书，大概理清了思路，希望把它整理成材料给大 家分享。叙述力求以概念方法的思路理解为主，辅之必要的数学推导,对推导不感兴 趣了解条件结论即可。但由于水平有限，或许因为理解不足产生一些错误，也希望大 家谅解当个参考吧。对于符号的选择尽量与书上同步，后面也会有说明。对整体脉络不感兴趣或觉 得前面内容不好理解的可直接跳至张量概念前一节看亦无不可。2.基矢量的使用我们以往处理空间几何问题时，选用较多的是坐标法。它所隐含的意义是选取 两两正交的单位向量el、e2、e3,将向量分解为x
2、=x i e 1,并以xi(i=l,2,3作为坐标。 这种标准正交系的好处在于它具有正交归一性，即e i-ej=6ijo但在某些情况下建立标准正交系存在着困难，这时候要以空间中一般的三个向 量作为基底(前提是符合作为基底的条件，即线性无关来描述问题,构建一般的坐标系, 通常情况下它是“斜”的。但斜坐标并不具备正交归一性,使用并不方便。以二维为例，建立坐标系xa,其 基矢量为el、e2,对于任意的矢量a、b,在这个坐标系下都能分解为 a=aaea5b=baeao此时若要求其点积,有算式a b=aabpea-epo由于斜交，此时ea ep 般是不为零 的，等式右端将有四项,复杂。解决方法是构造另一
3、组基矢量el、e2,它满足这样的条件：elel=l,ele2=0e2el=0,e2e2=l（等价于ea ep=6ap它能解出唯一一组el、e2o （用原基底表示新基底代入上述式子求解两个二元 次方程组即可此时仍有上述a、b向量，将它们分别按上面的两组基底分解有a=aaea,b=bpep,那么a b=aabpea epo由上述的定义知ea-ep=6ap,B而a b=aabp,使点积形式得 到简化。这样相当于一个坐标系中有两组基矢。为便于区分，把与坐标轴同向的那组基 底（即前面那组称为协变基，构建的一组基底称为逆变基。需要注意的是，若协变基是 正交单位的,那么它的逆变基是它本身。（二维三维皆适用，
4、证明较简单，故不给出3.基矢与坐标变换在这里我们讨论最简单的变换类型基矢量发生线性变换（参见线性代数,保持原 点不变。对于这里可以有两种思路。1协变基与逆变基假设有坐标系x 1,其协变基e 1,逆变基e io发生坐标变换后成为新坐标系x i；其协变基e 逆变基e它们之间的坐标变换系数e i-pij ej(3-1-1我们称这组系数为协变变换系数。(协变基的变换 e i-pj iej(3-1-2我们称这组系数为逆变变换系数。(逆变基的变换由协变基与逆变基定义知6i?=ej，e i-ej=piipj j&j得到卩邨jjN由这个式子可以得到矩阵方程pripr2pr3p2,lp2,2p2,3卩3，1卩3
5、2卩33卩 11012013卩2 T卩22串23，卩 31032033=(3-1-3根据逆矩阵的性质交换相乘顺序等式仍然成立，有卩 1112卩 13，卩21卩22卩23p3Tp32p33卩ripr2pr3p2,lp2,2p2,3卩3，1卩32卩33=得到Pi邛巧=呵研究旧基底用新基底表示的方法,用公式(3-1-1左右两边乘0k i；有pk i*e i-pk irpij e j=6kj e j=e k即e k=pk i*e V(3-1-4同理可得ej=pij ef(3-1-5由本节标注的5个公式可知，只需要一组变换系数,就可以得出四组基矢 之间的变换关系。再看此时空间中向量坐标变换情况假设空间中
6、任意向量X.显然有x=x 1 e i?x=x i e 1x=x ie ix=x ife ir据此推导坐标间的变换公式x i e i=x=x i，e i-x ixpij e j方程左右两边点乘e io （当然也可以用基矢的线性无关性考虑向下推导x i=x ipi j6j i=pii x i，用类似的方法可以导出其他三个公式x i邛巧x jx if=pj i，x jxi=pijjz以上四个公式即为坐标系变换时，向量各坐标（或者说在各基矢上的分量的变换 公式。2.只考虑协变基对于一开始看协变逆变已经乱了套的同学，从这里看也未尝不可,用另一套思路 推导基矢。一样能够推导出基矢及坐标变幻式，但对于张量背
7、景由来的理解不那么 有利。也可以当然另一种推导思路吧。假设有坐标系xi,其基矢量ei。发生坐标变换后成为新坐标系x i；其基矢量e i，。它们之间有变换e i-pij e j(3-2-1ei=pij 町(3-2-2写成矩阵方程形式为el，e2e3=pripr2pr3p2,lp2,2p23p3,lp3,2p331ele2e3且卩 1TP12013,卩21(322023(331032033ere2，e3，满足由坐标变换及逆矩阵的知识易知这两个矩阵互逆。pripr2pi3p2/lp2/2p2r3P34P32P33p 11012013卩2 T卩22串23，卩3 T卩32串33，=plUpl2rpl3#
8、卩2 T卩22串23，(331032033pripr2pr3p2,lp2,2p2,3卩3，1卩3,2卩33=E由此能推出卩巧 pj k卩k邙巧=6kj这里考虑坐标变换就显得简单了，同样的,假设空间中任意向量x , 会有x =x 1 e 1(3-2-3x =x i*e if(3-2-4将(3-2-1,(3-2-3代入到(3-2-4中，会有x i e i =x =x i*e i-pijxfej上式左右两端均为三项求和式，整理可得X(piri x i*-x i e i =0n1=1由基底的线性无关性可得上式系数为0,即有x i =piri x ir相似地，可以推导出x i-pi irx i这样同样能
9、推导出一组坐标单基底情况下基矢的变换方程及坐标的变换方程。3.关于基矢与坐标变换的一点说明在本节，通过假设两组参数卩讨、厲了，我们导出了基矢变换4组方程，坐标变换4组方程，可以看出它们之间是有相互 关联的。不仅如此，由于这两组参数满足其矩阵互逆的条件，只要已知其中一组参数， 这所有基矢及坐标的变换关系也就可求了。以上的推导，仔细观察变换系数可以发现,一组坐标的变换系数，总是与其基矢的 变换系数相反。对于协变基相应的坐标，它的变换系数是逆变变换系数;而对于逆变 基相应的坐标，它的变换系数是协变变换系数。在这里出现了很多基矢、坐标、系数，上下标很复杂。个人认为这是看和张量 有关的东西最麻烦的地方，
10、我参考了一些教材采用了上述的上下标方式。它是有很 大的好处的，记起来很方便。当两个因子相乘时，如x iz=pi i，右边因子的哑标总是 上一下,左边的自由标会与剩下的自由标同上下。可以看出，在基矢变换（如e i-pij ej，乃至于向量分解中（如x =x 1 e 1,不同的是坐标值没有另一个指标，但一上一 下仍然是成立的，这个小规律都是适用的。这样对于公式的印象可能会更深一些。4. 张量概念1其使用意义先引用矢量与张量分析中的一段引言自然界的运动法则以及新出现的几 何或物理量是与坐标系无关的。但在处理具体问题时，总得引进一个比较方便的坐 标系。这样一来，由于被研究的对象要加上一个偶然选择的坐标
11、系。因而所得到的 解析资料不仅反映出那些我们想要知道的东西、而且会反映出那些我们不想要的东 西，这在理论研究中有时会引起不必要的复杂化。(这里个人举个小例子，假设要研究某个向量,我们建了一个标准正 交坐标系,在这个坐标系下它的坐标是(102。我们知道，研究的时候、出现如0,1之类 有特点的数，可能是具备某种性质的。那第二个坐标的0是否会有什么特别的意义 很显然是没有的，这个0产生的仅仅是由于坐标的选取,选取另一个坐标很可能坐标中就不 含0 了。也就是说，我们的研究对象，向量是不依赖于坐标系的，但向量的坐标分量Q是依 赖坐标的。张量方法就是既采用坐标系而又摆脱具体坐标系影响的不变性方法。它 使研
12、究对象确实重要的部分与由坐标的选择而偶然导来的部分相分开。从而使物理 概念更为明确。再引用广义相对性原理一切物理现象在任何参考系中都相同。个人倾向于另 种更明确地说法物理定律在任何参考系中都具有相同的数学形式。理解了这些,我们就能了解张量的作用及意义。下面就是张量概念的导出。2.协变张量假设有一向量的线性数量函数P(xo对于函数是从三方面把握的定义域、对应 关系和值域。这个函数定义域是空间中所有向量值域是一个数集、对应关系未知，就 认为是P(x。再来解释下线性,线性是指它满足以下的两条性质：对于任意向量xl,x2,有p(x 1 +x2=(p(x 1 +(p(x2对于任意数匕有(p(ax=a(p
13、(x这里解释一下构造函数的原因。由上节可知，我们的目的是去找到描述不变量 的一个方法(结果肯定是张量。而不变量通常是某个方程中的某一项或某一因子，对 于方程我们通通能用一个隐式(P(x=O描述。(忽略对于定义域值域的讨论，只要等号 左右一样就行。显然，上述的函数可以对应一类物理方程。举个最简单的例子,P(x= x e a可以求任意向量在a向量上的投影。考虑坐标发生变换时的情况，由于x=x 1 e i,显然会有(p(x=x i(p(e i在变换后的新坐标中,x=x i，e i；有(p(x=x i(p(e i这样我们可以用坐标的描述函数p(x,记(pi=(p(e i,(pi-(p(e *。这样假设
14、的好处是 可以使用(p(x=(pi x i=(pifx十来计算p(x,将矢量运算简化成在基底下的坐标运算。相 当于用一组参数完全描述出该函数。我们再看所假设的“函数坐标”。(pi-(p(e i-(p(pixi e i=pi*i(pi表征函数p(x的参数与坐标系的基矢e 1有着相同的变化关系。这里可以看出g(x是与坐标系无关的量(可以简单理解为一种结果为数的矢量 运算，如(p(x=x e a,但当坐标系变化时,其对于各基矢的分量总遵循着固定的规律，即 有(pi-pil(pi因而(P是一个一阶张量。特别的，由于它的各分量与相应的坐标系基矢的变换 方式相同，我们称它为协变张量。协变是指张量分量变化规律与基矢相同。把上述概念进行一个推广，更一般给出11维k阶协变张量的定义:个量，在任意坐标系中都能用k个指标编号的n k个有序数a 1112. .1 k表示，当发生坐标变换时这些数服从a 1T订卩i2，i2卩ik，1 k a1112. .1knullnullnullnull
