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1、【教学论文、中学数学】学校:西安市庆安高级中学姓名: 杜晓红 电话: 浅析直线参数方程的理解及其应用 庆安高级中学 杜晓红【内容概要】直线的参数方程在数学解题中的应用非常广泛。掌握直线参数方程的标准形式和一般形式,理解参数t的几何意义,并熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化,那么在利用直线的参数方程处理求线段的长,求距离与中点有关等问题的时候有它独到的优势。【关键词】直线的参数方程,标准式,一般式,t的几何意义,距离,中点,转化。【正文】直线的参数方程过点P0(),倾斜角为的直线的参数方程是: (t为参数)设P() 为直线上任意一点,t表示有向线段的数量,即|t| 当t0时,点P在点P0的上
2、方; 当t0时,点P与点P0重合; 当t0,设此二次方程的两个根为t1、t2 则t1t2=12,根据参数t的几何意义,t1、t2 分别为直线和圆16的两个交点A, B所对应的参数值,则|t1|=| PA|,|t2|=| PB|,所以| PA| PB|=|t1 t2|=12。点拨:利用直线标准参数方程中的参数t的几何意义解决距离问题、距离的乘积(或商)的问题,比使用直线的普通方程,与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便。三、巧用t的几何意义解决直线与圆锥曲线相交的弦长、中点问题ABMP (2,0)y0例4:已知直线过点P(2,0),斜率为,直线 和抛物线相交于A、B两点,设线
3、段AB的中点为M,求:(1)P、M两点间的距离|PM|; (2)M点的坐标; (3)线段AB的长|AB|。解:(1)直线过点P(2,0),斜率为,设直线的倾斜角为,= cos =, sin=直线的标准参数方程为(t为参数)*因为直线和抛物线相交,将直线的参数方程代入抛物线方程中,整理得 8t215t500 , =152+48500,设这个二次方程的两个根为t1、t2,由韦达定理得 t1t2, t1t2 ,由M为线段AB的中点,根据t的几何意义,得| PM| ;(2)中点M所对应的参数为t M=,将此值代入直线的标准参数方程*,M点的坐标为 即 M(,)(3)|AB|t 2t 1 点拨:利用直线
4、的标准参数方程中参数t的几何意义,在解决诸如直线上两点间的距离、直线上某两点的中点以及与此相关的一些问题时,比用直线的普通方程来解决显得比较灵活和简捷。结论:(1)A、B两点之间的距离为,特别地,A、B两点到直线恒过的定点M0()的距离分别为;(2)A、B两点的中点所对应的参数为。 高中阶段在必修和选修中分别学习了直线的方程和圆锥曲线的内容,它们都是高考的重点内容,若将两者结合起来,复杂的推理和大量的运算更使学生望而生畏。而在本文中我们通过探究直线方程的另一种形式参数式,利用 t 的几何意义,则可以使问题的解决变得简单有趣了,而且可以让学生从一个崭新的角度去认识这些问题,从而激发学生的学习热情,拓展学生的思维能力,教师在教学过程中对直线的参数方程作适当的补充与渗透,对学生数学视野的拓展,探索能力的培养将起到较大的帮助。【参考文献】1. 解俊,高中数学新课程教学活动的思辨J,中学数学教学参考(2015上旬)2 .中华人民共和国教育部制定,普通高中课程标准(实验)选修4-4M,北京:北京师范大学出版社3 .2015高考试题专题分析-直线参数方程的应用