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1、南通市高级中学2014-2015年高三数学一模试卷试题注意事项注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1本试卷共4页，均为非选择题（第1题第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。一、填空题：本
2、大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1 已知集合，则 2 若（其中表示复数z的共轭复数），则复数z的模为 3 已知函数在处的导数为，则实数的值是 4 根据国家质量监督检验检疫局发布的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验(GB195222004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车”的临界值为20mg/100ml；“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据：根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 5 要得到函数的函数图象，可将函数的图象向右至少平移 个单位6在平面直角坐标系xOy中，“直
3、线，与曲线相切”的充要条件是“ ”开始结束（第7题）7 如图，表示第i个学生的学号，表示第i个学生的成绩，已知学号在110的学生的成绩依次为401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 8 在ABC中，若，则 9 已知是上的奇函数，且时，则不等 式的解集为 10设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 11已知平面向量，满足，的夹角等于，且，则的取值范围是 12在平面直角坐标系xOy中，过点、分别作x轴的垂线与抛物线分别交于点，直线与 x轴交于点，这样就称确定了同样，可由确定，若，则 13定义：x，y为实数x，y中较小的数已知，其中
4、a，b 均为正实数，则h的最大值是 14在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中为直角顶点若该三角形的面积的最大值为，则实数的值为 二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤15（本题满分14分）已知函数 （1）求的最小正周期和值域；（2）若为的一个零点，求的值16（本题满分14分） 如图，在边长为1的菱形ABCD中，将正三角形BCD沿BD向上折起，折起后的点C记为，且（第16题）DABC（）（1）若，求二面角CBD的大小；（2）当变化时，线段上是否总存在一点E，使得A/平面BED？请说明理由 17（本题
5、满分15分） 在平面直角坐标系中，设A、B是双曲线上的两点，是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点（1）求直线AB与CD的方程；（2）判断A、B、C、D四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由18（本题满分15分） 某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成（假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同）（1）如何安
6、排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？（2）由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成，在按（1）分配的人数阅卷4天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？（天数精确到小数点后第3位） （参考数据：，） 19（本题满分16分） 已知函数的导函数是二次函数，且的两根为若的极大值与极小值 之和为0， （1）求函数的解析式； （2）若函数在开区间上存在最大值与最小值，求实数的取值范围（3）设函数，正实数a，b，c满足，证明：20（本题满分16分） 设首项为1的正项数列的前n项和为，数列的前n项和为，
7、且，其中为常数. （1）求的值；（2）求证：数列为等比数列；（3）证明：“数列，成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“， 且”试题（附加题）21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若 多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤DABCEO（第21A题）A（几何证明选讲）如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DEAB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长 B（矩阵与变换）已知矩阵的属于特征值的一个特征向量为，求实数、的值 C（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，已知点在曲线（
8、为参数，为正常数），求的值 D（不等式选讲） 设均为正数，且，求证： 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤22已知函数，求的最大值. 23（1）已知，且，求证：；（2）设数列，满足，（i1，2，3，）证明：对任意的正整数n，是关于的一次式南通市数学一模试卷参考答案1. ； 2. 3； 3. 2； 4. 0.09； 5. ； 6. ； 7. ； 8. ；9. ； 10. ； 11. ； 12. ； 13. ； 14. 3答案解析1易得，则；2. ；3. 易得，则，即；4. “饮酒驾车” 发生的频率等于；5. 将向右
9、至少平移个单位得；6. 易得，且，即；7. 打印出的第5组数据是学号为8号，且成绩为361，故结果是；8. 设，则，且，利用可 求得，所以；9. 易得，故所求解集为；10. 法1 设正四棱锥的底面边长为，则体积，记， ，利用导数可求得当时，此时；法2 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为，则， （第11题图） ，记，利用导数可求得当时，此时；15命题立意：本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式，考查运算求解 能力（1）易得 ，（5分） 所以周期，值域为；（7分）（2）由得，（9分） 又由得 所以故，（11分） 此时， （14分）16命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位
10、置关系，考查空间想象、推理论证能力（第16题图）DABCOE解：（1）连结，交于点，连结， 菱形ABCD中， 因三角形BCD沿BD折起，所以， 故为二面角CBD的平面角，（5分） 易得，而， 所以，二面角CBD的大小为；（7分） （2）当变化时，线段的中点E总满足A/平面BED，下证之：（9分） 因为E，O分别为线段，AC的中点， 所以，（11分） 又平面BED，平面BED， 所以A/平面BED. （14分）17命题立意：本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识，考查运算求解与探究能力解：（1）设A，则， 代入双曲线得 解得或 即的坐标为、， 所以：，：；（7分） （2）A、B、C、D四点共圆
11、，下证之：（9分） 证明：由与联立方程组可得 的坐标为、，（11分） 由三点A、B、C可先确定一个圆，（13分） 经检验适合式，所以A、B、C、D四点共圆（15分） （注：本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆）18命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力 解：（1）设文科阅卷人数为，且， 则阅卷时间为（5分） 而故， 答：当文、理科阅卷人数分别是119,281时，全省阅卷时间最省；（8分） （2）文科阅卷时间为：，（11分） 理科阅卷时间为：，（14分） 答：全省阅卷时间最短为天（15分）19命题立意：本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识，考查灵
12、活运用数形 结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的综合能力（第19题图） 解：（1）设， 则可设，其中为常数. 因为的极大值与极小值之和为0， 所以，即， 由得， 所以；（5分） （2）由（1）得，且0+0极小值极大值 列表： 由题意得，三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值（如图），（7分） 又，故， 所以，且， 解得；（10分） （3）题设等价与，且a，b，c0， 所以a，b，c均小于 假设在a，b，c中有两个不等，不妨设ab，则ab或ab 若ab，则由得即， 又由得ca 于是abca，出现矛盾 同理，若ab，也必出现出矛盾 故假设不成立，所以（16分）20命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识，考查灵活 运用基本量进行探索求解、推理分析能力解：（1）n = 1时，由得p = 0或2，（2分） 若p = 0时， 当时，解得或，
