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1、高数概念基础知识因式分解公式：an-bn=(a-b)( an-1+an-2b+abn-2+bn-1) ( n为正偶数时)an-bn=(a+b)( an-1-an-2b+abn-2-bn-1) ( n为正奇数时)an+bn=(a+b)( an-1-an-2b+-abn-2+bn-1)二项式定理：(a+b)n=k=0nCnkakbn-k不等式：(1) a,b位实数，则2aba2+b2；aba+b；a-ba-b.(2) a1,a2,an0, 则 a1+a2+annna1a2an取整函数：x-1xx三角函数和差化积;积化和差(7)：sin+sin=2(sin+2)(cos-2) sincos=12(s
2、in+2+cos-2)sin-sin=2(cos+2)(sin-2) coscos=12(cos+2+cos-2)cos+cos=2(cos+2)(cos-2) sinsin=-12(cos+2-cos-2)cos-cos=2(sin+2)(sin-2)重要三角公式1+tan2=sec2 1+cot2=csc2sin2=2sincos cos2=cos2-sin2=1-2sin2=2cos2-1tan=tantan1tantan cot=1cotcotcot+cottan2=1-cossin=sin1+cos=1-cos1+cos cot2=sin1-cos=1+cossin=1+cos1-c
3、os万能公式：u=tanx2-x0,𝛅0,当0|x- x0| 𝛅时，恒有|f(x)-A|0,𝛅0,当0(x- x0) 𝛅时，恒有|f(x)-A|0,𝛅0,当0( x0- x) 𝛅时，恒有|f(x)-A|0, X0,当|x|X时,恒有|f(x)-A|0, X0,当xX时,恒有|f(x)-A|0, X0,当-xX时,恒有|f(x)-A|0, N0,当nN时,恒有|Xn-A|0,使f(x)在U=x0x-x00,则存在x0的一个去心 邻域，在该邻域内恒有f(x)0. (戴帽)若存在x0的一个去心邻域，在该邻
4、域内f(x)()0，且limxx0 f(x)=A()，则A0. 计算极限四则运算：设limxx0 f(x)=A(),limxx0 f(x)=B(),则 limxx0 fxgx=AB. limxx0 fxgx=AB. limxx0 f(x)g(x)=AB (B0).等价无穷小（9）sinx 1-cosx12x2 arcsinx ax-1lnax tanx 1+x-1x xarctanx ln(1+x)ex-1 limnnn=1 , limnna=1, (a0) ,limx0+xlnxk=0 ,limx+xk-x=0 (0,k0)limnna1n+a2n+amn=maxai=1,2,m;ai0 洛
5、必达法则：“00”型：limxx0 f(x)=0, limxx0 g(x)=0; f(x),g(x)在x0的某去心领域内可导,且g(x)0 limx x0f(x)g(x)=A或为. 则limxx0 f(x)g(x)=limxx0 f(x)g(x) “”型：limxx0 f(x)=, limxx0 g(x)=; f(x),g(x)在x0的某去心领域内可导,且g(x)0 limxx0 f(x)g(x)=A或为. 则limxx0 f(x)g(x)=limxx0 f(x)g(x)注洛必达法则能不能用，用了再说.数列极限存在准则：1. 单调有界数列必收敛2.夹逼准则：如果函数f(x),g(x)及h(x)
6、满足下列条件：(1) g(x)f(x)h(x); (2)limg(x)=A,limh(x)=A,则limf(x)存在，且limf(x)=A.两种典型放缩：maxuii=1nuinmaxui; nminuii=1nuinmaxui选取的依据是谁在和式中去决定性作用 海涅定理（归结原则）：设f(x)在 (x0, )内有定义，则limxx0 f(x)=A存在对任何以x0为极限的数列xn（xnx0），极限limn f(xn)=A存在.连续的两种定义：（1） limx0y=limx0fx0+x-fx0=0（2） limxx0fx=fx0间断点：第一类：可去、跳跃；第二类：无穷、振荡一元微分学定义导数定义
7、式：f (x0)=dydxx=x0=limx0 fx0+x-f(x0)x=limxx0 fx-f(x0)x-x0微分定义式：若y=Ax+o(x),则dy=Ax.可导的判别:(1) 必要条件:若函数f(x)在点x0处可导,则f(x)在点x0处连续.(2) 充要条件:fx0存在 f+x0,f-x0都存在，且f+x0=f-x0.注通俗来说就是连续函数不一定可导；函数在一点可导且在该点连续，但在这点的某个邻域未必连续；函数可导，则其导函数可能连续，也可能震荡间断.可微的判别：limx0y-Axx=0，则f(x)可微。（一元函数可微即可导）计算几个不常见的求导公式：(arccos x)=-11-x2 (
8、arccot x)=-11+x2莱布尼茨公式：(uv)(n)= Cn0u(n)v+ C1 nu(n-1)v+Cnnuv(n)常见初等函数n阶导数：(ax)(n)=axlnna (1ax+b) (n)=-1nann!ax+bn+1 sin(ax+b)(n)=ansin(ax+b+n2) cos(ax+b)(n)=ancos(ax+b+n2) ln(ax+b) (n)=-1n-1ann-1!ax+bn (n1)构造辅助函数：要证fx+xfx=0,只要构造F(x)=f(x)x，证明Fx=0.十大定理最值定理：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则mf(x)M,其中m,M分别为f(x)在a,b上的最
9、小值和最大值.介值定理：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，m,M是f(x)在该区间上的最小值和最大值，则对任意的m,M,a,b,使得f=.零点定理：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，且满足f(a)f(b)0,a,b,使得f=0.费马引理：设f(x)满足在x0点处1 可导 2取极值 则fx0=0.罗尔：设f(x)满足1a,b上连续 2a,b内可导 3fa=fb 则a,b,使得f=0拉格朗日中值：设f(x)满足1a,b上连续 2a,b内可导 则a,b，使得f(b)-f(a)= f(b-a),或者写成f=fb-fab-a柯西中值：设f(x),g(x)满足1a,b上连续2a,b内可导3gx0.
10、 则a,b，使得fb-fagb-g(a)=fg.泰勒公式：(1)带拉格朗日余项的n阶泰勒公式设f(x)在点x0的某个领域内n+1阶导数存在，则对该邻域内的任意点x均有f(x)=f(x0)+fx0x-x0+1n!fnx0x-x0n+ fn+1n+1!x-x0n+1,其中介于x, x0之间， (2)带佩亚诺余项的n阶泰勒公式设f(x)在点x0处n阶可导，则存在x0的一个邻域，对于该邻域中的任一点，f(x)=f(x0)+fx0x-x0+1n!fnx0x-x0n+(x-x0n).麦克劳林：（9）x=1+x+12!x2+1n!+(xn)sinx=x-x33!+(-1)nx2n+12n+1!+(x2n+1)arcsinx=x+x33!+x2n+12n+1!+(x2n+1)tanx=x+x33+215x5+(x5)arctanx=x-x33+(x3)cosx=1-x22!+x44!-+(-1)nx2n2n!+(x2n)11-x=1+x+x2+ +xn+(xn)11+x=1-x+x2+ +(-1)nxn+(xn)ln(1+x)=x-x22+x33-+(-1)nxn+1n+1+(xn+1)1+xa=1+x+-12!x2+-1-n+1n!+(
