《探求正四面体外接球、内切球半径求法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《探求正四面体外接球、内切球半径求法（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、探求正四面体外接球、内切球半径正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合.已知正四面体ABCD麦长为a,设外接球半径为R，内切球半径为r,球心为O,则正四面体的高h是季a,外接球半径是驾a即Rjh；内切球半径是尊a即1.r-h.外接球半径是内切球半径的3倍.下面从不同角度、用不同万法进行探求:4方法一:（勾股定理）作AH平面BCEffH点，则点H是VBCDW中心,高hAH16a,设。为球心，则OAH.3连结BH,BO在RtVBO卅，BC2BH2即R2R)2,3、2,6(ka)(=a33里,rhR4.6.6aa346aa.12方法二:（三角
2、正切倍角公式）作AH平面BC万H点，则点H是VBCD勺中心,高hAH设。为球心，则OAH.连结BH,BOQAOBOABOBAO=BOH在RtVABH中,tanBHAH3aa3_.6a3在RtVOBHfr,tanBHOH-a3r3a3rQtan2tan.2tan.66.6、.6a,Rhraaa.123124方法三：（分割等体积）作AH平面BCWH点，则点H是VBCD勺中心,高hAHa，设。为球心，则OAH.连结BOCODO3得到四个以。为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是内切球的半径r,设正四面体每个面的面积为S,则4VoBCDVaBCD，即41-SgAH,4ah1h46aa36a
3、a,126aa126aa.4方法四:（侧棱、高相似或三角）作AH平面BC万H点，则点H是VBCD勺中心,高hAHJ6a,设。为球心，则OAH.3设M是AB的中点，连结OMOBBH,HAB,QAOBOOMABAMOAHBRt，又MAOVAMO:VAHBAMAOAHAb,a即2R,6aa3REa,rhREa旦-6a.43412或：设BAHMAO,则6a在RtVABH中，cos在RtVAMC,cosAH亏aABaaAM2.AOR.6a3a方法五：（斜高、高相似或三角）作AH平面BCH点，则点H是VBCD勺中心,6高hAHa,设。为球心，则OAH.3设E为BC中点，连结AE，EH,作ONAE于N点，贝
4、UN是VABC中心，N是AE的三等分点,ON平面ABCO说内切圆半径r,且RtVANO:RtVAEHANAOAHAE3aa即3-变a3R3-a2.6a,4-66aa34.6a.12或：设EAHNAO在RtVAEH中，cosAHAE6aa3%a2在RtVANCMcosANAO3aaJ_R6aa33aa23aa3R方法六:（斜高、侧棱相似或三角）作AH平面BCCH点，则点H是VBCD勺中心,高hAH乌设O为球心，则OAH.3设E为BC中点，连结AE,DEDO,延长DO交AE于N,则N是AE的三等分点，HDE且DN平面ABC则RtVODH:RtVDNEOHNEODDEOHOdNEDER3r.AHa,
5、.6a,12a.或：在RtVDNE,sinNDENEDE在RtVDOW,sinNDEsinODHOHOD，OH1-.OD3R3r.AHh_Jaa,36aa,12方法七:（构造正方体）正四面体的四个顶点是正方体的顶点，此时正四面体的外接球也是正方体的外接球，正四面体的棱长为a,则正方体的棱长为a.正方体的体对角线等于外接球直径，有234a2R,6、6,6rhRaaa.3412方法八：（相交弦定理）设外接球球心为O,半径为R，过A点作球的直径,交底面VBCDFH,则H为VBCD勺外心，求得AH直a,由相交弦定理得3Wa02R33a)*)2解得R旦.4,6a4.6a.12以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而从不同方面对内切球半径有了透彻的认识，同时对解题能思维作了训练，不仅对正四面体的外接球半径、力的提高是有帮助的
