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1、精品文档Chapter1误差误差限计算、有效数字分析精品文档相对误差历为准确直.V.为X的一个近似值称relative error0/）=型2 =三 为近似施的超过鱼可端岂定.为近似1取的相对误差限绝对误差设X为准确值，1为X的一个近似值，称=X*X为近似值/的维对误差，简称谀差，可简记为e（x*）|=|x-x|i-=*计）小_#1）摄一1）一、）其中为常数,由小）=1可得A=-Xt-l）（Xr-Artl）（Xt-An）,二（丁二与）CM-./.|乂工.*川）.（#.）（巧一/卜一（韦一韦）（巧一$*卜，+巧一三u=oj.、）nxXjKXt-xfJ*称之为拉格朗日基函数,都是再次多项式.2.2
2、.2 拉格朗日播值窸项式利用拉格朗日基函数，（谓构造次数不超过的多项式4。）=（，+贴+-+yMx）=力对可知其满足，、.ni4）=*/=0TlT-摩为拉格朗仃插值多项式,再由插值客项式的唯一性,得（v）=zjx）特别地，当”=1时又叫线性插值其几何意义为过两点的交线.当=2时又叫抛物（线）插值，其儿何意义为过三点的抛物线.精品文档这是因为若取=。L讯),由插值多项式的唯一性有=/，#=乩，苒I4n40)三1if例1已知产&,$=*=*用线性插值(即一次插值多项式求行的近似值.解为=2,网=3,基函数分别为：y-91v-41*时=：=-?,9M(刈=gU)插值军项式为“*)=M+MC)=lKy
3、(jc-9)+3号住-4)=-1(.v-9)+(.y-4)=1a+6/所以新片卬7)=史=2.65精品文档则拉格朗U的二次插值多项式为工式方=J1/式寸+F/1住)+J翱B)+J%也)-2xGy-1)Gv-5)(x-)+0x(r+l)(.v-3XA-1)+(Tx(aH+3x(r41)(jcK15=Gy-1)(.y-J)Gy-4)+(.r+IHx-lXv-)ZU4+*+1肛-1业-3)(=/一4*3)2.2.3 插值余项截断误差町温)小欣)-工式*)也称为II次LEiKranxe插值多项式的余项，以下为拉格朗日余项定理。定理2设/的在区间m期上存在m+i阶导数，芭E，,叫为”+1个互舁节点，则对
4、任何xea,br有产，目典(2=汽2-4(刘=勺谭吗鼠用其中叫“1幻=11(”一*/J-4例之求过点（1,6%（44的抛物线播值（即三次插值型项式）.解以xD=-1#A-|=L&=IX3=4以为节点的基函数分别为：(-l-l)(-L-3)(-L-4)皿(工_1)(工_3”“_4)勺(*)/工二(+1)(a;-3)(JC4)1.*、=(工+1Hx-3)(JV-4)(1+1X1-3M1-4n=一-(xI(3+1)(3-1)(3-4)8,、(*+1)(*-1)(*-A1.,11/11/式2=(A41)(X-l)(x-3)(4+1)(4-1X4-3)IS例3设/（博=1,节点-%巧=五&三=4,求3的
5、抛物插值多而式用I噂/的近似值并估计误差.解几寸=0与内=3司=3第以=/口）=025插荷基项式为工式用=仆,5x(x-L5)(x-4|(2-2.5)(2-4)Cr-2HA-2-5)(4一双4一工身=0-(1.42541,15精品文档精品文档于是=心(3)=0.325因为/(#)=$,二吁|d)4x网IS故|纲g络I任一2X工2冏-4)|VF4；IGv-2Xtv-2.5)(a-4)|6o/3)143)-4区昊10-2)(3-2.5)(3-4)|DCT=0.03125I10111213Ins2J025S52.3978952J84907564仪9例4给定函数表用二次插值计算IniL25的近似值,并
6、布计误差.解取节点、=10,%=11,胡=12,作二次插值有Ini1.25(11,25)=(1L25-11XUJ5-12网一卿t-唠=1420426(11用-电口口5-叫112-10)(12-11)在区间叱上6的三阶导费的上限即业0值可得溪养计式If|Jt(11阖i|(1125-10)(1125-11X1UST研aW73!实扁上El,25老例羯%11,嚣)卜。.卿风2、牛顿插值构造差商表性质4若黄#在电力上存在/j阶导数，且节点所,.V/卬川，则至少存在一点发画句满足下式n:例1 /(A)=-外叶亦一地求/口 Z必及. .,10卜解,师尸一64!,lN.Qi/僧/)=0,/02,10印.解 相
7、应的函数值袅差分表如下:Wfg一除裁分_阶差分三所差分四防差分12.7182SIG63411.54.481692.903471.143960.7421027.289064 门9343.88606K223560,481462.5J2482497.903053.1092320,08554；Vj(a)=0.41075+I.l16H.V-0140+CL2800(v-也40)(*-0.55)故/(殖S9mtoJV:(ft59(S)=(1632010又.yj.v0.VjJlj=01970可得过前四点的二次牛顿插值事项式必=JV式冉+e4kO(国一小MKk-O.SS)(x-IJ.fiS)故以0.596)H心
8、心96)=06319145/!所,Yj=00344可得小(工)的魂断误差|$行)|i.0344(jr0.4U)(jc0乃5)工。.酌其”0.90)|投骗)|h0.34kI0-4例2设Jpbr)=t工产1,1后见工5,3,用三次皤值多项式求/0#及工期的近似值.1)%FCQ一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分12,718281*76341L54.481692.903471443960.7421027.28JJU64.793431朋6061.223S6IL-ISUii2.513,12497.903053J096232也08554求K1.芬用牛顿前插公式，且由1.之=1+0向,得片在4/(l+2)ffi
9、A；(1.2)-X7lR281L7(34l或4i咛学(14网(1447W一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分1L522.532.718284.481697.2890612.1S2-I9却.08554L76M2.903474.793437%。3既143%1加6063.10962fl.742101.223560.4814E邮2.8)用牛顿后插公式里由得上-0.4求川1呢?11)9.=2U0Ki5l17905x(0l4)+(E4)x(-a4+l)+1 卫竺(旬明+IT &+Q = 15.7680S72ft10(L4x(L4-lX04-7=A3A3S&523、埃尔米特插值构造三次埃尔米特插值多项式如下2.
10、5埃尔米特便前mite)插值2.5A三次埃尔米特插值多项式设,1弓门)是区间句上的实函数，*0*1是因叫上相异两点，且Vii，jWW)在修上的南载值和一阶早数值分别为力(1句,1)和明=/国)(f-0,1),求三次窸项式H3(x),使其定理3蹒足条件式用式毛)=尸.式/)=叫0=0,1)的三次埃尔米特插值宓项式存在且唯一.构造三次埃尔米特播值多项式如下：Hx)=/(#)+J11al(#)十%用I*)+叫向(#)由多(巧)=/($)=0口将它巧成/(，忙)=|+例支一事)(禽-巧工由=1*得b=T(ja-xi)瞒足:=o,】)用口麻为三次埃尔米特插值塞项式.褊-函数值导致值%、与1*】峋*1%3
11、)1Q00值0100国0Q10P30Q01再由/(事)=0，得白=一；,Cvq一巧)所以M=H+2士当(三二L#1一项所一项同理(将与ex1)=+2士斗(f)工/一项V-Xtj同样由禺）=国（.）=用（.）=0，可令Aj（x）=f（X-A0）（,V一巧小再由式（不）=L得=一1一g-对）/(x)=Gv-x0X-一5i一M工一峋外仃六口十2土田|（上豆汽林伊人伊水三二生了，餐餐一餐因一巧叼3=口+2士斗（士凡）:用=住_芮）（上）XLi的一餐阳一餐即,（h）1+招（.，）#）用（X）=（X-5用。4- 2（.v）Zj（x）科1犯）=1工一iMI度）（v），4（a）为饮餐济认巧小插值点的Lagra
12、nge一次基函数.可得满足条件的三次埃尔米特插值多项式为凡=蚪%。）+Jii（-T）+叫43+吗4（功,X-JCa.x-x.,Jf-X.X-Xnxi二为u十工M（Lr+jji+2q（-）*1一小了一Xq_天玉一/十%（二一/）+,（父一。.修町-K招-K252误差估计定理4设昇叫花包含“四的区间俗创内存在四阶导数，则为囿用时有余项国国二/一场二:产（纵七一汽厂中,中楂ES，如且与4有关）设以*/（则当工Eg,巧）时，余项有如下估计式（误差限），悬例2已知婚）4四及其一阶襁的数据见下我同埃尔米特插值公式计算12sl上的近似值，并估计其截断误塞解(v)=llx|用士史丫士里、144-121A121-14JJ；+2
