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1、 一元二次方程知识点及考点精析一、知识结构:一元二次方程二、考点精析考点一、概念(1) 定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式: 其中是二次项,叫二次项系数;是一次项,叫一次项系数,是常数项。二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的,所以求一元二次方程的各项系数时,必须先将方程化为一般形式。难点:如何理解 “未知数的最高次数是2”:该项系数不为“0”; 未知数指数为“2”;若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题:例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )A B C D
2、变式:当k 时,关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程,则m的值为 。针对练习: 1、方程的一次项系数是 ,常数项是 。2、若方程是关于x的一元一次方程,求m的值;写出关于x的一元一次方程。3、若方程是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是 。4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程,则下列不可能的是( )A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1考点二、方程的解概念:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。应用:利用根的概念求代数式的值; 典型例题:例1、已知的值为2,则的值为 。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0,则a的值为
3、。例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足,则此方程必有一根为 。例4、已知是方程的两个根,是方程的两个根,则m的值为 。针对练习:1、已知方程的一根是2,则k为 ,另一根是 。2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。求k的值; 方程的另一个解。3、已知m是方程的一个根,则代数式 。4、已知是的根,则 。5、方程的一个根为( )A B 1 C D 6、若 。考点三、解法方法:直接开方法;因式分解法;配方法;公式法关键点:降次类型一、直接开方法:对于,等形式均适用直接开方法典型例题:例1、解方程: =0; 例2、若,则x的值为 。针对练习:下列方程无解的是( )A. B. C. D.类型二、
4、因式分解法 : 依据A.B=0则A=0或B=0 因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0方程特点:左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,方程形式:如, , 典型例题: 例1解方程(1)10x-4.9 x2 =0 (2)x(x-2)+x-2 =0 (3)5x2-2x-=x2-2x+ (4)(x-1) 2 =(3-2x) 2 例2已知9a2-4b2=0,求代数式的值例3、的根为( )A B C D 例4、若,则4x+y的值为 。变式1: 。变式2:若,则x+y的值为 。变式3:若,则x+y的值为 。例3、方程的解为( )A. B. C. D.例4、解方
5、程: 例6、已知,则的值为 。变式:已知,且,则的值为 。针对练习:1、下列说法中:方程的二根为,则 . 方程可变形为正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2、以与为根的一元二次方程是()A B C D3、写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为倒数: 写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为相反数: 4、若实数x、y满足,则x+y的值为( )A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或25、方程:的解是 。6、已知,且,求的值。7、方程的较大根为r,方程的较小根为s,则s-r的值为 。类型三、配方法配方法解一元二次方程的一般步骤:(1)现将
6、已知方程化为一般形式;(2)化二次项系数为1;(3)常数项移到右边;(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;(5)变形为(x+p)2=q的形式,如果q0,方程的根是x=-pq;如果q0,方程无实根. 关键:把常数项移到方程右边后,两边加上的常数是一次项系数一半的平方在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题: 例1 用配方法解下列关于x的方程 (1)x2-8x+1=0 (2)x2-2x-=0 (3)2x2+1=3x (4)3x2-6x+4=0 (5)(1+x)2+2(1+x)-4=0例2.试用配方法说明的值恒大于0。例3.已
7、知x、y为实数,求代数式的最小值。例4.已知为实数,求的值。例5.分解因式:针对练习:一、选择题 1配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为( ) A(x-)2= B(x-)2=0 C(x-)2= D(x-)2= 2下列方程中,一定有实数解的是( ) Ax2+1=0 B(2x+1)2=0 C(2x+1)2+3=0 D(x-a)2=a 3已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z的值是( ) A1 B2 C-1 D-2 二、填空题 1如果x2+4x-5=0,则x=_ 2无论x、y取任何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_数 3如果16(x-y)2+40(x-
8、y)+25=0,那么x与y的关系是_ 三、综合提高题 1用配方法解方程 (1)9y2-18y-4=0 (2)x2+3=2x 2已知:x2+4x+y2-6y+13=0,求的值3、试用配方法说明的值恒小于0。4、已知,则 .5、若,则t的最大值为 ,最小值为 。6、如果,那么的值为 。类型四、公式法 (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac0时,将a、b、c代入式子x=就得到方程的根(公式所出现的运算,恰好包括了所学过的六中运算,加、减、乘、除、乘方、开方,这体现了公式的统一性与和谐性。)(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式(3)利用求根公式解一元二
9、次方程的方法叫公式法公式的理解(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根(5)应用公式法解一元二次方程的步骤:1)将所给的方程变成一般形式,注意移项要变号,尽量让a0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac,若结果为负数,方程无解,4)若结果为非负数,代入求根公式,算出结果。条件:公式: ,典型例题:例1用公式法解下列方程 (1)2x2-x-1=0 (2)x2+1.5=-3x (3) x2-x+ =0 (4)4x2-3x+2=0 分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可 例2某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)+(m-2)x
10、-1=0提出了下列问题 (1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程 (2)若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在,请求出 你能解决这个问题吗? 针对练习: 一、选择题 1用公式法解方程4x2-12x=3,得到( )Ax= Bx= Cx= Dx= 2方程x2+4x+6=0的根是( )Ax1=,x2= Bx1=6,x2= Cx1=2,x2= Dx1=x2=- 3(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0,则m2-n2的值是( ) A4 B-2 C4或-2 D-4或2 二、填空题 1一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是_,条件是_ 2当x=_时,代数式x2-8
11、x+12的值是-4 3若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是_ 三、综合提高题 1用公式法解关于x的方程:x2-2ax-b2+a2=0 2设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根,(1)试推导x1+x2=-,x1x2=;(2)求代数式a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)的值例3、选择适当方法解下列方程: 例2、在实数范围内分解因式:(1); (2). 说明:对于二次三项式的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式,这种方法首先令=0,求出两根,再写成=.分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用求代数式的值; 解二元二次方程组。典型例题:例1、 已知,求代数