《导数研究函数性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数研究函数性质（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1导数与导函数的概念(1)设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数(derivative)，记作f(x0)(2)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f(x)2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C为常数)
2、f(x)0f(x)x(为常数)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)5复合函数的导数若yf(u)，uaxb，则yxyuux，即yxyua.【思考辨析】判断下面结论是否对的(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表达的意义相同()(2)求f(
3、x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(5)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x()1(教材改编)f(x)是函数f(x)x32x1的导函数，则f(1)的值为_2如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象也许是_ 3设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)f()sin xcos x，则f()_.4已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是_5(2023陕西)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处
4、的切线垂直，则P的坐标为_题型一导数的运算例1求下列函数的导数：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sin x；(3)y3xex2xe；(4)y；(5)yln(2x5)思维升华(1)求导之前，应运用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；碰到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量(2)复合函数求导时，先拟定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元(1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，则x0_.(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)_.题型二导数的几何意
5、义命题点1已知切点的切线方程问题例2(1)函数f(x)的图象在点(1，2)处的切线方程为_(2)曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为_命题点2未知切点的切线方程问题例3(1)与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程是_(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为_命题点3和切线有关的参数问题例4已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；假如f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)假如在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值3函数
6、的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值【思考辨析】判断下面结论是否对的(请在括号中打“”或“”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.( )(2)假如函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性( )(3)函数的极大值不一定比极小值大( )(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件( )(5)函数的最大值不一定是极
7、大值，函数的最小值也不一定是极小值( )1函数f(x)x22ln x的单调递减区间是_2已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)3，且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(x)2(xR)，则不等式f(x)2x1的解集为_3函数f(x)x33x21在x_处取得极小值4(教材改编)如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为_5设1x2，则，()2，的大小关系是_(用“0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0)(1)若函数yf(x)的导函数是奇函数，求a的值；(2)求函数yf(x)的单调区间思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式
8、解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要拟定导数为0的点和函数的间断点(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数讨论函数f(x)(a1)ln xax21的单调性题型三运用函数单调性求参数例3设函数f(x)x3x2bxc，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(1)求b，c的值；(2)若a0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围引申探究：在本例3(3)中，1若g(x)在(2，
9、1)内为减函数，如何求解？2若g(x)的单调减区间为(2，1)，求a的值3若g(x)在(2，1)上不单调，求a的取值范围思维升华已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)运用集合间的包含关系解决：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解已知函数f(x)exln xaex(aR)(1)若f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线yx1垂直，求a的值；(2)若f(x)在(0，)上是单调函数，求实数a的取值范围5分类讨论思想研究函数的单调性典例(14分)已知函数f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，其中函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴(1)拟定a与b的关系；(2)若a0，试讨论函数g(x)的单调性温馨提醒(1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种也许：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法(2)本题求解先分a0或a0两种情况，再比较和1的大小方法与技巧1已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0的解区间，并注意定义域2
