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1、解析几何中对称问题的常见求解方法关键词：对称点、对称直线解析几何中的对称问题在现行中学数学材料中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。但这部分知识是解析几何中重要的基础内容，也是近年来的高考热点之一。对称点、对称直线的求法，对称问题的简单应用及其解题过程中所体现的思想和方法是学生必须掌握的。这就要求教师在讲完直线、曲线部分后，需对对称问题进行适当的归纳、总结。使学生对这部分知识有一个较完整的、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题和解决办法。一、关于点对称。1、点关于点对称。点P(a,b)关于原点的对称点坐标是(a,b
2、);点P(a,b)关于某一点M(x0,y0)的对称点的坐标，利用中点坐标式求得为(2x0a,2y0b)。2、直线关于点对称。直线L:AxByC0关于原点的对称直线。设所求直线上一点为P(x,y)，贝卩它关于原点的对称点为Q(x,y)，因为Q点在直线L上，故有A(x)B(y)C0,即AxByC0:直线h关于某一点M(x,yo)的对称直线12。它的求法分两种情况：1、当M(Xo,y)在h上时，它的对称直线为过M点的任一条直线。2、当M点不在li上时，对称直线的求法为：解法(一)：在直线12上任取一点P(x,y)，则它关于M的对称点为Q(2x。x,2yoy)，因为Q点在h上，把Q点坐标代入直线在h中
3、，便得到J的方程。解法(二)：在li上取一点P(Xi,yJ，求出P关于M点的对称点Q的坐标。再由心心，可求出直线12的方程。解法(三)：由心，可设li：AxByC0关于点M(x。,y。)的对称直线为AxByC0且A02By02C,严2求设C从而可求的及对称直线方程。.A2B2A2B23、曲线关于点对称，曲线Ci:f(x,y)0关于M(X。,y。)的对称曲线的求法：设P(x,y)是所求曲线的任一点，则P点关于M(xo,yo)的对称点为(2x。x,2y。y)在曲线f(x,y)0上。故对称曲线方程为f(2x。x,2y。y)0。二、关于直线对称1、点关于直线对称点P(a,b)关于x轴、y轴，直线xy，
4、xy的对称点坐标可利用图像分别求设为(a,b),(a,b),(b,a),(b,a)。点P(a,b)关于某直线L:AxByC0的对称点P的坐标。解法(一)：由PP丄L知，Kpp，-直线PP的方程tybB(xa)由AAAxByC0B可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点P的坐标。yb(xa)A解法(二):设对称点P(x,y)由中点坐标公式求得中点坐标为(旦2二于)把中点坐标代入L中得到A土bC0；再由Kpp，B得-22AaxA，联立、可得到P，点坐标。解法(三)：设对称点为P(x,y),由点到直线的距离公式有脑ByCA2B2Ax0ByC，A2B2，再由Kpp，舟得汽由、可得到p,点坐标2、直线
5、li关于直线I的对称直线12。当li与I不相交时，则liIIIIII2。在li上取一点P(xo,y)求出它关于I的对称点Q的坐标。再利用PiP2可求出I2的方程。当Ii与I相交时，Ii、丨、I2三线交于一点。解法(一)：先解Ii与I组成的方程组，求出交点A的坐标。则交点必在对称直线I2上。再在Ii上找一点B，点B的对称点B也在I2上，由A、B两点可求出直线I2的方程。解法(二)：在Ii上任取一点P(xi,yi)，则P点关于直线I的对称点Q在直线I2上，再由PQ丄I,KpqKli。又PQ的中点在I上，由此解得Xf(x,y),yig(x,y)，把点(xi,yi)代入直线h的方程中可求出J的方程。解
6、法(三)：设Ii关于I的对称直线为I2，则I2必过Ii与I的交点，且I2到I的角等于I到Ii的角，从而求出I2的斜率，进而求出I2的方程。3、曲线关于直线对称。曲线Ci关于直线I的对称曲线C2的方程，在C2上任取一点P(x,y),可求出它关于I的对称点坐标，再代入Ci中，就可求得C2的方程。综合上述，求对称问题通常采用变量替换、数形结合等解题思想。求对称问题的通法是：求对称点一般采用，先设对称点P(x,y)，再利用中点坐标公式或垂直、平分等条件，列出x,y的方程组，解方程组所得的解就是对称点的坐标，求对称直线一般是：先设对称曲线上任一点P(x,y),再利用求对称点的方程求出P点的对称点Q点坐标
7、，将Q点坐标代入已知曲线方程中，所得的关于x,y的关系式，就是所求对称曲线的方程。通过上述研究，解析几何中的各种对称点，对称曲线（包括直线）列表如下：对点、点直对、（直、线称轴、线）线（对称中心卜P(a,b)l:AxByC0C：f(x,y)0原点（0,0）(a,b)A(x)B(y)C0f(x,y)0M(xo,yo)(2xoa,2yob)A(2xx)B(2yy)C0f(2x0x,2yy)0x轴(a,b)AxB(y)C0f(x,y)0y轴(a,b)A(x)ByC0f(x,y)0直线xy(a,b)BxAyC0f(x,y)0直线xy(b,a)B(x)A(y)C0f(y,x)0xym0(bm,am)A(ym)B(xm)C0f(ym,xm)0xym0(bm,am)A(ym)B(xm)C0f(ym,xm)0由此可见，熟练地记忆和掌握各种对称点和对称曲线的求法，将会对我们解决对称问题带来很大的方便。
