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1、互换的定价与套利【学习目标】通过本章的学习应把握互换定价的差不多原理。要明白得什么缘故只要把互换分解成债券、一组远期利率协议或一组远期外汇协议，就能够利用常用的定价方法为互换定价。还要对互换的套利有比较深入的了解。第一节互换的定价在本节中，我们第一探讨互换与一系列金融工具的关系，通过将互换分解成一系列我们更加熟悉的金融工具，这能够加深我们对互换这种金融工具的明白得并为明白得互换的定价原理奠定基础。在此基础上，我们接着讨论互换的定价。利率互换的定价如果我们假设没有违约风险，利率互换能够通过分解成一个债券的多头与另一个债券的空头来定价，也能够通过分解成一个远期利率协议的组合来定价。（一）贴现率在给
2、互换和其它柜台交易市场上的金融工具定价的时候，现金流通常用LIBOR零息票利率贴现。这是因为LIBOR反映了金融机构的资金成本。如此做的隐含假设是被定价的衍生工具的现金流的风险和银行同业拆借市场的风险相同。（二）运用债券组合给利率互换定价考虑一个2003年9月1日生效的三年期的利率互换，名义本金是1亿美元。B公司同意支付给A公司年利率为5%的利息，同时A公司同意支付给B公司6个月期LIBOR的利息，利息每半年支付一次。LIBORA公司BB公司5%图16.1 A公司与B公司的利率互换表16-1利率互换中B公司的现金流量表（百万美元）LIBOR(5%)收到的浮动利息支付的固定利息净现金流2003.
3、9.14.202004.3.14.80+2.10-2.50-0.402004.9.15.30+2.40-2.50-0.102005.3.15.50+2.652.50+0.152005.9.15.60+2.75-2.50+0.252006.3.15.90+2.80-2.50+0.302006.9.16.40+2.95-2.50+0.45上述利率互换能够看成是两个债券头寸的组合。尽管利率互换不涉及本金交换，我们能够假设在合约的到期日，A支付给B1亿美元的名义本金，同时B也支付给A1亿美元的名义本金。这可不能改变互换双方的现金流，因此可不能改变互换的价值。如此，利率互换能够分解成：1.B公司按6个月
4、LIBOR的利率借给A公司1亿美元。2.A公司按5%的年利率借给B公司1亿美元。换个角度看，确实是B公司向A公司购买了一份1亿美元的浮动利率（LIBOR）债券，同时向A公司出售了一份1亿美元的固定利率（5%的年利率，每半年付息一次）债券。因此，对B公司而言，那个利率互换的价值确实是浮动利率债券与固定利率债券价值的差。定义Bfix：互换合约中分解出的固定利率债券的价值。Bfi：互换合约中分解出的浮动利率债券的价值。那么，对B公司而言，那个互换的价值确实是V互换=BfiBfix（16.1）为了讲明公式（16.1）的运用，定义ti：距第i次现金流交换的时刻（1in）。L：利率互换合约中的名义本金额。
5、ri：到期日为ti的LIBOR零息票利率。k：支付日支付的固定利息额。那么，固定利率债券的价值为nBfixkeritiLerntni1接着考虑浮动利率债券的价值。按照浮动利率债券的性质，在紧接浮动利率债券支付利息的那一刻，浮动利率债券的价值为其本金L。假设下一利息支付日应支付的浮动利息额为k*（这是已知的），那么在下一次利息支付前的一刻，浮动利率债券的价值为BflLk*。在我们的定义中，距下一次利息支付日还有t1的时刻，那么今天浮动利率债券的价值应该为：Bfl（Lk*）er1t1公式（16.1）给出了利率互换对一个支付固定利率、收入浮动利率的公司的价值，当一个公司收入固定利率，支付固定利率的时
6、候，互换对该公司的价值为V互换=BfiBfix（16.2）例16.1假设在一笔互换合约中，某一金融机构支付6个月期的LIBOR，同时收取8的年利率（半年计一次复利），名义本金为1亿美元。互换还有1.25年的期限。3个月、9个月和15个月的LIBOR（连续复利率）分不为10、10.5和11。上一次利息支付日的6个月LIBOR为10.2（半年计一次复利）。在那个例子中k$400万，k*$510万，因此Bfix4e0.10.254e0.1050.75104e0.111.25$0.9824亿Bfl1005.1e0.10.25$1.0251亿因此，利率互换的价值为98.4102.5=一$427万如果银行
7、持有相反的头寸收入浮动利率、支付固定利率，那么互换对银行的价值确实是427万美元。利率互换中固定利率一样选择使互换初始价值为0的那个利率，在利率互换的有效期内，它的价值有可能是负的，也有可能是正的。这和远期合约十分相似，因此利率互换也能够看成远期合约的组合。（二）运用远期利率协议给利率互换定价远期利率协议（FRA）是如此一笔合约，合约里事先确定今后某一时刻一笔借款的利率。只是在FRA执行的时候，支付的只是市场利率与合约协定利率的利差。如果市场利率高于协定利率，贷款人支付给借款人利差，反之由借款人支付给贷款人利差。因此实际上FRA能够看成一个将用事先确定的利率交换市场利率的合约。专门明显，利率互
8、换能够看成是一系列用固定利率交换浮动利率的FRA的组合。只要我们明白组成利率互换的每笔FRA的价值，就运算出利率互换的价值。考虑表16.1中的B公司，在那个利率互换中，B公司和A公司交换了6次现金流。第一次现金流交换在互换签订的时候就明白了，其它5次利息的交换能够看成是一系列的FRA。2004年9月1日的利息交换能够看成是用5的利率交换在2004年3月1日的6个月的市场利率的FRA，2005年3月1日的利息交换能够看成是用5的利率交换在2004年9月1日的6个月的市场利率的FRA，依此类推。只要明白利率的期限结构，我们就能够运算出FRA对应的远期利率和FRA的价值，因此运用FRA给利率互换定价
9、的步骤如下：1 .运算远期利率。2 .确定现金流。3 .将现金流贴现。例 16.#我们再看例16.1中的情形。3个月后要交换的现金流是已知的，金融机构是用10.2%的年禾I率换入8%年利率。因此这笔交换对金融机构的价值是_010250.51000.080.102e107万美兀为了运算9个月后那笔现金流交换的价值，我们必须先运算从现在开始3个月到9个月的远期利率。按照远期利率的运算公式A t -I- 一. r -*.从T到T的远期利率的运算公式为rT TR_,3个月到9个月的远期利率为0.1050.750.100.250.10750.510.75%的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为2e0.
10、1075/21=0.11044因此，9个月后那笔现金流交换的价值为0.51000.080.11044e0.1050.75141万美元同样，为了运算15个月后那笔现金流交换的价值，我们必须先运算从现在开始9个月到15个月的远期利率。0.111.250.1050.750.11750.511.75%的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为假设Rc是连续复利的利率，Rm是与之等价的每年计 m次复利的利率，那么 Rc mln 1 寸，RcRm m e m 1 o2e0.1175/21=0.12102因此，15个月后那笔现金流交换的价值为0.51000.080.12102e0.111.25179万美元那么
11、，作为远期利率协议的组合，这笔利率互换的价值为107141179427万美元那个结果与运用债券组合定出的利率互换价值一致。货币互换的定价（一）运用债券组合给货币互换定价在没有违约风险的条件下，货币互换一样也能够分解成债券的组合，只是不是浮动利率债券和固定利率债券的组合，而是一份外币债券和一份本币债券的组合。假设A公司和B公司在2003年10月1日签订了一份5年期的货币互换协议。如图16.2所示，合约规定A公司每年向B公司支付11%的英镑利息并向B公司U取8%的美元利息。本金分不是1500万美元和1000万英镑。A公司的现金流如表16.2所示。A公司持有的互换头寸能够看成是一份年利率为8%的美元
12、债券多头头寸和一份年利率为11%的英镑债券空头头寸的组合。11%的英镑利息A公司*B公司-8%的美元利息图16.2A公司和B公司的货币互换流程图表16-2货币互换中A公司的现金流量表（百万）日期美元现金流英镑现金流2003.10.1-15.00+10.002004.10.1+1.20-1.102005.10.1+1.20-1.102006.10.1+1.201.102007.10.1+1.20-1.102008.10.1+16.20-11.10如果我们定义V互换为货币互换的价值，那么对收入本币、付出外币的那一方：V互换BdSBf其中Bf是用外币表示的从互换中分解出来的外币债券的价值；Bd是从互
13、换中分解出来的本币债券的价值；So是即期汇率（直截了当标价法）应付出本币、收入外币的那一方：V互换S0BFBd例16.3假设在美国和日本LIBOR利率的期限结构是平的，在日本是4%而在美国是9%（差不多上连续复利），某一金融机构在一笔货币互换中每年收入日元，利率为5%,同时付出美元，利率为8%。两种货币的本金分不为1000万美元和120000万日元。这笔互换还有3年的期限，即期汇率为1美元=110日元。如果以美元为本币，那么BD0,8e0.0910.8e0.09210.8e0.093964.4万美元Bf60e0.04160e0.0421260e0.043123,055万日元货币互换的价值为12
14、3055964.4154.3万美元110如果该金融机构是支付日元收入美元，则货币互换对它的价值为-154.3百万美元。（二）运用远期组合给货币互换定价货币互换还能够分解成一系列远期合约的组合，货币互换中的每一次支付都能够用一笔远期外汇协议的现金流来代替。因此只要能够运算货币互换中分解出来的每笔远期外汇协议的价值，就能够明白对应的货币互换的价值。例 16.#我们看例16.3,即期汇率为1美元=110日元，或者是1日元=0.009091美元。因为美元和日元的年利差为5，按照FSe（rrf）（Tt），一年期、两年期和三年期的远期汇率分不为0.009091e0.0510.0095570.009091e
15、0.0520.0100470.009091e0.0530.010562与利息交换等价的三份远期合约的价值分不为0.8600.009557e0.09120.71万美元0.8600.010047e0.09216.47万美元0.8600.010562e0.09312.69万美元与最终的本金交换等价的远期合约的价值为1012000.010562e0.093201.46万美元因此这笔互换的的价值为201.4612.6916.4720.71154.3万美元，和运用债券组合定价的结果一致。第二节互换套利一、互换套利从上一章对互换种类的介绍能够看出，互换中的各方能够利用各悠闲不同市场上的比较优势与对方相交换并获利套利。我们能够将互换套利的差
