《线性代数考研讲义完整版精编》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数考研讲义完整版精编（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考研数学线性代数讲义目录第一讲 基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲 行列式完全展开式化零降阶法其它性质 克莱姆法则第三讲 矩阵乘法 乘积矩阵的列向量和行向量 矩阵分解 矩阵方程 逆矩阵 伴随矩阵 第四讲 向量组线性表示 向量组的线性相关性 向量组的极大无关组和秩 矩阵的秩 第五讲 方程组解的性质 解的情况的判别 基础解系和通解第六讲 特征向量与特征值 相似与对角化特征向量与特征值 概念 ,计算与应用 相似 对角化 判断与实现 附录一 内积 正交矩阵 施密特正交化 实对称矩阵的对角化 第七讲 二次型二次型及其矩阵 可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和
2、规范化 惯性指数 正定二次型与正定矩阵附录二 向量空间及其子空间附录三 两个线性方程组的解集的关系附录四 06,07 年考题第一讲基本概念1 .线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为aiixi+ai2X2+a inXn=bi,a21Xl+a22X2+ + a2nXn = b2, a x +a x + +a x =b ,ml 1m2 2mn n m其中未知数的个数 n和方程式的个数 m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量(k ,k ,k)(称为解向量),它满足：当每个方程中的12n未知数Xi都用ki替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解，唯一解，无穷多解对线性方程组讨论的主要
3、问题两个 求通解.bl=b2= =b m = 0的线性方程组称为:(1)判断解的情况.(2)求解，特别是在有无穷多接时齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成 原方程组的 导出齐次线性方程组 ，简称 导出组.0，所得到的齐次线性方程组称为2. 矩阵和向量(1) 基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展由m n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个 m n型矩阵.例如2 -1 0 1 11110 22 5 4
4、-2 93 3 3 -1 8是一个45矩阵.对于上面的线性方程组，称矩阵a 11 a 12A= a 21 a 22a 2na am1 m2a 1n和(A|amn11 a 12a 1n)=a21 a 22 a 2nAa a am1 m2mnb1b2为其系数矩阵和增广矩阵 就体现其全部信息.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵一个矩阵中的数称为它的元素 ，位于第i行第j列的数称为(i,j) 位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵，通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A = B),是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同), 并且对应的元素都相等 .由n个数构成的有序数组称为
5、一个 书写中可用矩阵的形式来表示向量n维向量,称这些数为它的分量.,例如分量依次是a ,a , ,a的向量可表示成12n(a 1,a 2,a n)或 aan请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵矩，它们不一样（左边是1 n矩阵，右边是n 1阵）.习惯上把它们分别称为行向量和列向量.（请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别 .）一个m n的矩阵的每一行是一个n维向量称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩称为它的行向量；每一列是一个m维向量阵，例如当矩阵 A的列向量组为1, 2, n时（它们都是表示为列的形式!）可记A = （-1,2,n）.矩阵的许多概念也可对向量来规定，如
6、元素全为 0的向量称为 零向量，通常也记作0.两个向量-和相等（记作-=）,是指它的维数相等 ,并且对应的分量都相等（2）线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的，下面以矩阵为例来说明加（减）法:两个m n的矩阵A和B可以相加（减）,得到的和（差）仍是m n矩阵，记作 A+B （ A- B）,法则为对应元素相加（减）.数乘:一个m n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m n的矩阵,记作cA,法则为 A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算，它们满足以下规律 ：转置:把一个 m n的矩阵 A行和列互换有以下规律,得到的 nm的矩阵称为A的转T记作A (或A ).加法交换律:A+B=B+A.
7、加法结合律:(A+B)+ C=A+( B+C).加乘分配律:c( A+B)=c A+c B.(c+d)A=cA+dA数乘结合律:c(d)A=(cd) A.c A=0 j. c=0或 A=0. (AT) T= A. (A+B) t=At+Bt. (c A) t=cAt转置是矩阵所特有的运算，如把转置的符号用在向量上，就意味着把这个向量看作矩阵了 .当以是列向量时,X表示行向量,当是行向量时,qt表示列向量1,c 2,c s是一组数,则称向量组的线性组合:设1,2,s是一组n维向量,cc +c + +c1 12 2s s为1,2, 一s的（以C1,C 2,c s为系数的）线性组合.n维向量组的线性
8、组合也是n维向量.（3）n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.（其上的元素行号与列号相等.）下面列出几类常用的n阶矩阵，它们都是考试大纲中要求掌握的对角矩阵:对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵:对角线上的的元素都为1的对角矩阵，记作E（或I ）.数量矩阵:对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵，它就是cE.上三角矩阵:对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵:对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.t的n阶矩阵.T总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.）3. 矩阵的初等
9、变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换： 交换两行的位置 用一个非 0的常数乘某一行的各元素 把某一行的倍数加到另一行上.（称这类变换为倍加变换）类似地，矩阵还有三种初等列变换，大家可以模仿着写出它们，这里省略了 初等行变换与初等列变换统称初等变换.,如果满足:阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵 如果它有零行，则都出现在下面0元素所在的列号自上而下严格单调递 如果它有非零行，则每个非零行的第一个非 增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵：是特殊的阶梯形矩阵,特点为： 台角位置的元素为1. 并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩
10、阵和简单阶梯形矩阵 数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练.请注意:1. 一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的 台角位置是确定的.这种运算是在线性代但是其非零行数和2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的4.线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组（即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组 ）.线 性方程组的同解变换有三种: 交换两个方程的上下位置. 用一个非 0的常数乘某个方程 把某个方程的倍数加到另一个方程上以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换线性方程组求解的基本方法是消元法，用增广矩阵或系数矩阵来进
11、行,称为矩阵消兀法对非齐次线性方程组步骤如下:(1) 写出方程组的增广矩阵(A| ),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B| ).(2) 用(B| )判别解的情况:如果最下面的非零行为(，0|d)，则无解，否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r= n 时唯一解； rn时无穷多解.(推论:当方程的个数 mn时，不可能唯一解.)(3) 有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B| )的零行,得到一个n x (n+1)矩阵(Bo| 0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩 阵(E| ),则就是解.对齐次线性方程组：(1) 写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)
12、用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；rn时有非零解(求解方法在第五章 讲).(推论:当方程的个数 mn时,有非零解.)讨论题1. 设A是n阶矩阵，则(A) A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.(B) A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.(C) A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系2. 下列命题中哪几个成立？(1),则A也是阶梯形矩阵.,则B也是阶梯形矩阵.,则A和B都是阶梯形矩阵如果A是阶梯形矩阵，则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵 如果A是阶梯形矩阵，则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵 如果(A| B)是阶梯形矩阵 如果(A| B)是阶梯形矩阵 如果
13、 A是阶梯形矩阵第二讲行列式.概念复习1.形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:a 11 a 12a 1na2i a 22a 2n3 nn如果行列式的列向量组为an1 a n2,则此行列式可表示为|n1意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算 的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时，就可以在它们之间写等号 ！（同.）每个n阶矩阵 对应一个n阶行列式，记作| |.A|.n,得到的数值称为这个行列式不必形式一样，甚至阶数可不行列式这一讲的的核心问题是值的计算2.定义（完全展开式）2阶和3阶行列式的计算
14、公式a ii a 12a21 a 22= a111213a a a321 a 22 a 23a3i a 32 a 33般地，一个iia22-a 12321,以及判断一个行列式的值是否为0.=a iia22a33 + a 12323 a3i + a i3a2ia32-a 13322331- a iia23a32-a 12321333.阶行列a 11 a 12a 1n321 a 22a 2n3n1 3 n2的值是许多项的代数和a-a-1 j 2 j1 2,每一项都是取自不同行anjn,不同列的n个元素的乘积，其一般形式为:,它们的列标j 1j 2 j n构成1,2,n的一 元排列）,共有n!个n元排列，每个n元排列对应一项,因此共有1 j 2j n）为全排列j 1j 2这里把相乘的 n个元素按照行标的大小顺序排列 个全排列（称
