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1、正弦函数、余弦函数的性质【学习目标】1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义;2.理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与轴的交点等)【要点梳理】要点一:周期函数的定义函数,定义域为I,当时,都有,其中T是一个非零的常数,则是周期函数,T是它的一个周期.要点诠释:1.定义是对I中的每一个值来说的,只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.2.对于周期函数来说,如果所有的周期中存在一个最小的正数,就称它为最小正周期,三角函数中的周期一般都指最小正周期.要点二:正弦函数、余弦函数的图象和性质函数正弦函数ysinx余弦函数y=cosx定义域RR值
2、域-1,1-1,1奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期最小正周期单调区间kZ增区间减区间增区间减区间最值点kZ最大值点最小值点最大值点最小值点对称中心kZ对称轴kZ要点诠释:(1)正弦函数、余弦函数的值域为,是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线,如果定义域不是全体实数,那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是,因而求正弦函数、余弦函数的值域时,要特别注意其定义域(2)求正弦函数的单调区间时,易错点有二:一是单调区间容易求反,要注意增减区间的求法,如求的单调递增区间时,应先将变换为再求解,相当于求的单调递减区间;二是根据单调性的定义,所求的单调区间必须在函数的定义域内,因此求单
3、调区间时,必须先求定义域要点三:正弦型函数和余弦型函数的性质 函数与函数可看作是由正弦函数,余弦函数复合而成的复合函数,因此它们的性质可由正弦函数,余弦函数类似地得到:(1)定义域:(2)值域:(3)单调区间:求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答,即把视为一个“整体”,分别与正弦函数,余弦函数的单调递增(减)区间对应解出,即为所求的单调递增(减)区间比如:由解出的范围所得区间即为增区间,由解出的范围,所得区间即为减区间(4)奇偶性:正弦型函数和余弦型函数不一定具备奇偶性对于函数,当时为奇函数,当时为偶函数;对于函数,当时为偶函数,当时为奇函数要点诠释:判断函数,的奇偶性除利
4、用定义和有关结论外,也可以通过图象直观判断,但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件(5)周期:函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关,其周期为(6)对称轴和对称中心与正弦函数比较可知,当时,函数取得最大值(或最小值),因此函数的对称轴由解出,其对称中心的横坐标,即对称中心为同理,的对称轴由解出,对称中心的横坐标由解出要点诠释:若,则函数和函数不一定有对称轴和对称中心【典型例题】类型一:正弦函数、余弦函数的定义域与值域例1求函数的定义域;【答案】【解析】 为使函数有意义,需满足2sin2x+cos x10,即2cos2xcos x10,解得画出余弦函数的图象或单位圆,如下图所示 定义域
5、为【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性,在进行三角函数的变形时,要注意三角函数的每一步都保持恒等,即不能改变原函数的自变量的取值范围举一反三:【变式1】求函数的定义域【解析】依题意得2sin x10,即,(kZ),函数的定义域为例2求下列函数的值域:(1)y=32sin x(2),;(3)【答案】(1)1,5(2)0,2(3)【解析】 (1)1sin x1,22sin x2,22sin x2,132sin x5,函数的值域为1,5(2),0y2函数的值域为0,2(3),当cos x=1时,函数的值域为【总结升华】 一般函数的值域求法有:观察法、配方法、判别式法、反比例
6、函数法等,而三角函数是函数的特殊形式,其一般方法也适用,只不过要结合三角函数本身的性质举一反三:【变式1】 求y=cos2x+4sin x2的值域【解析】y=cos2x+4sin x2=sin2x+4sin x1=(sin x2)2+31sin x1,当sin x=1时,ymin=6;当sin x=1时,ymax=2函数的值域为6,2类型二:正弦函数、余弦函数的单调性例3求的单调区间【思路点拨】要将原函数化为再求之.【解析】,函数的递增区间就是函数的递减区间(kZ),得(kZ)函数的递增区间为(kZ)【总结升华】函数的单调区间的确定,基本思想是把 看作一个整体举一反三:【变式1】(2015春
7、河南期中)已知函数 (1)求该函数的周期,并求函数在区间0,上的值域;(2)求该函数在2,2上的单调增区间【答案】(1)T=4,;(2)单调递增区间为:和【解析】(1)由题意函数的周期,x0,即函数在区间0,上的值域为;(2)原函数可化为,原函数的增区间即为的减区间,令,解得,kZ,令k=0,可得,令k=1,可得,x2,2,函数的单调递增区间为:和类型三:正弦函数、余弦函数的奇偶性例4判断下列函数的奇偶性:(1);(2); 【思路点拨】(1)先利用诱导公式化简为,再按步骤去判断(2)先求函数的定义域,然后判断【解析】(1)函数定义域为R,且,显然有恒成立函数为偶函数(2)由2sin x10,即
8、,得函数定义域为(kZ),此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称该函数不具有奇偶性,为非奇非偶函数【总结升华】 判断函数奇偶数时,必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间如果是,再验证是否等于或,进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数必为非奇非偶函数举一反三:【变式】关于x的函数=sin(x+)有以下命题:对任意的,都是非奇非偶函数;不存在,使既是奇函数,又是偶函数;存在,使是奇函数;对任意的,都不是偶函数.其中一个假命题的序号是_.因为当=_时,该命题的结论不成立.【思路点拨】当=2k,kZ时,=sinx是奇函数.当=2(k+1),kZ时仍是奇函数.当=2k+,kZ时,=cosx,当=2
9、k-,kZ时,=-cosx,都是偶函数.所以和都是正确的.无论为何值都不能使恒等于零.所以不能既是奇函数又是偶函数.和都是假命题.【解析】,k(kZ);或者,+k(kZ);或者,+k(kZ)类型四:正弦函数、余弦函数的对称性例5(2015春 湖南益阳月考)已知函数(1)求函数的最值及相应的x值集合;(2)求函数的单调区间;(3)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心【思路点拨】(1)根据正弦函数的最值性质即可求函数的最值及相应的x值集合;(2)根据三角函数的单调性即可求函数的单调区间;(3)根据三角函数的对称性即可求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心【解析】(1)当,即,kZ,即,kZ,此时
10、函数取得最大值为2;故f(x)的最大值为2,使函数取得最大值的x的集合为;(2)由,得,kZ函数f(x)的单调递增区间为,kZ由,得,kZ函数f(x)的单调递减区间为,kZ(3)由,得,kZ即函数f(x)的图象的对称轴为,kZ由,得,kZ,即对称中心为,kZ【总结升华】(1)正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点,即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值(2)正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点,即此时的正弦值、余弦值都为0举一反三:【高清课堂:正弦函数、余弦函数的性质394836 例1】【变式1】指出下列函数的对称轴与对称中心(1
11、);(2).【解析】(1)令,则的对称轴方程是(kZ),即(kZ),解得(kZ)函数的对称轴方程是(kZ) 同理,对称中心的横坐标为,即对称中心为(2)令,则的对称轴方程是(kZ),即(kZ),解得(kZ)函数的对称轴方程是(kZ) 同理,对称中心的横坐标为,即对称中心为(kZ)类型五:正弦函数、余弦函数的周期例6求下列函数的周期:(1);(2);(3);(4)【解析】(1)令,而,即T=2令z=2x,则,即,T=令,则,T=4原式,举一反三:【高清课堂:正弦函数、余弦函数的性质394836 例2】【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数,求其最小正周期.(1);(2);(3).【答
12、案】(1)是 (2)不是 (3)类型六:正弦函数、余弦函数性质的综合应用例7已知函数(1)求其定义域和值域;(2)判断奇偶性;(3)判断周期性,若是周期函数,求周期;(4)写出单调区间【思路点拨】在(3)中,可画出图象求周期,除了用周期函数的定义求周期外,作图也是一种基本的方法在(4)中,可以将看成是由,u=|t|,t=sin x复合而成【解析】(1)由,得,xk,kZ函数的定义域为x|xk,kZ,函数的值域为y|y0(2),函数是偶函数(3),函数是周期函数,且周期是(可结合图象验证)(4)设t=|sin x|,当时,sin x0,t=|sin x|为增函数;当时,sin x0,t=|sin x|为减函数又函数为减函数,函数的单调增区间为,kZ;单调减区间为,kZ举一反三:【变式】已知函数 (1)画出函数的简图;(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期;(3)指出这个函数的单调增区间【解析】 (1)函数图象如右图所示(2)由图象知函数的周期是2(3)由图象知函数的单调区间为(kZ)【总结升华】本题易犯的错误是求得周期为,实际上通过图象可知,在一个区间长为2的区间内函数值才发生周期性变化