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1、 .wd.7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的区域(1)当B0时，AxByC0表示直线AxByC0的；AxByC0表示直线AxByC0的.(2)当B0时，AxByC0表示直线AxByC0的；AxByC0表示直线AxByC0的.2.线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.ZAxBy是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为.由于ZAxBy是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条
2、件下的的问题，统称为线性规划问题.(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做，由所有可行解组成的集合叫做.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的.线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内.(4)用图解法解决简单的线性规划问题的 根本步骤：首先，要根据 (即画出不等式组所表示的公共区域).设，画出直线l0.观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解.最后求得目标函数的.(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建设数学模型，即根据题意找出条件，确定函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即，在可行域内求得使
3、目标函数.自查自纠：1.(1)上方区域下方区域(2)下方区域上方区域2.(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)线性约束条件画出可行域z0最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解 以下命题中正确的选项是()A.点(0，1)在区域xy10内B.点(0，0)在区域xy10内C.点(1，0)在区域y2x内D.点(0，0)在区域xy0内解：将(0，0)代入xy0，成立.应选D. 不等式x2y60表示的区域在直线x2y60的()A.左下方 B.左上方C.右下方 D.右上方解：画出直线及区域范围知C正确.应选C. ()假设变量x，y满足约束条件那么z2xy
4、的最大值是()A.2 B.4C.7 D.8解：画出不等式组的可行域如图阴影局部所示，结合目标函数可知，当直线y2xz经过点A(3，1)时，z取最大值，且为7.应选C. 点在直线2x3y60的上方，那么t的取值范围是.解：在2x3y60的上方，那么23t60，解得t.故填 . 不等式组表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有个.解：画出平面区域的图象，可以看出整点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3个，故填3.类型一二元一次不等式(组)表示的平面区域()记不等式组所表示的平面区域为D，假设直线ya(x1)与D有公共点，那么a的取值范围是_.解：作出题中不等式组表示的可行域如
5、图中阴影局部所示，直线ya(x1)恒过定点C(1，0)，由图并结合题意易知kBC，kAC4，要使直线ya(x1)与平面区域D有公共点，那么a4.故填.点拨：关于不等式组所表示的平面区域(可行域)确实定，可先由“直线定界，再由“不等式定域，定域的常用方法是“特殊点法，且一般取坐标原点O(0，0)为特殊点；这里的直线ya(x1)是过定点(1，0)且斜率为a的直线系.注意：含一个参数的直线方程都可看成有一个定元素的直线系.()不等式组表示的平面区域的面积为_.解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影局部所示，易求得|BD|2，C点坐标(8，2)，SABCSABDSBCD2(22)4.故填4.类型二利用
6、线性规划求线性目标函数的最优解()假设变量x，y满足约束条件且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，那么mn()A.8 B.7 C.6 D.5解：作出可行域(如图阴影局部所示)后，结合目标函数可知，当直线y2xz经过点A时，z的值最大，易得A(2，1)，那么mzmax2213.当直线y2xz经过点B时，z的值最小，易得B(1，1)，那么nzmin2(1)13.故mn6.应选C.点拨：可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数z2xy，求出最大值3与最小值3，从而得到相应范围.假设线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对
7、应直线在可行域上移动，观察z的大小变化，得到最优解.设x，y满足那么zxy()A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值解：画出不等式表示的平面区域，如图，由zxy，得yxz，令z0，画出yx的图象，当它的平行线经过A(2，0)时，z取得最小值为zmin202，由于可行域是向右上方无限延伸的非封闭区域，yxz向右上方移动时，zxy也趋于无穷大，所以zxy无最大值，应选B.类型三含参数的线性规划问题(1)假设不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两局部，那么k的值是()A. B. C. D.解：由题目所给的不等式组可知，其表
8、示的平面区域如图阴影局部所示，这里直线ykx只需经过线段AB的中点D即可，此时D点的坐标为，代入可得k.应选A.(2)在平面直角坐标系中，假设不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，那么a的值为()A.5 B.1 C.2 D.3解：如图可得阴影局部即为满足x10与xy10的可行域，而直线axy10恒过点(0，1)，故看作直线绕点(0，1)旋转，假设不等式组所表示的平面区域内的面积等于2，那么它是三角形，设该三角形为ABC，因为ABC的点A和B的坐标分别为A(0，1)和B(1，0)，且SABC2，设点C的坐标为C(1，y)，那么1y2y4，将点C(1，4)代入axy10得a3.应选D.
9、点拨：此类问题综合性较强，注意到ykx，axy10都是含参数且恒过定点的直线，因此这两题我们采用数形结合求解.注意把握的两点：参数的几何意义；条件的合理转化.(1)假设x，y满足约束条件目标函数zax2y仅在点(1，0)处取得最小值，那么a的取值范围是()A.(1，2) B.(4，2)C.(4，0 D.(2，4)解法一：zax2y的斜率为，目标函数在点(1，0)处取得最小值，由图象知斜率满足：124a2，所以参数a的取值范围是(4，2).解法二：由条件知，可行域是一个三角形，顶点为A(1，0)，B(3，4)，C(0，1)，由于目标函数的最小值仅在A点处取得，zAa，zB3a8，zC2，依题意，
10、zAazB3a8，zAazC2，所以参数a的取值范围是(4，2)，应选B.(2)()假设变量x，y满足约束条件且z2xy的最小值为6，那么k_.解：易得出约束条件中三条直线两两所成的交点(k，k)，(4k，k)，(2，2)，且可行域如图，那么k2.最小值在点(k，k)处取得，3k6，得k2.故填2.类型四利用线性规划求非线性目标函数的最优解当x，y取何值时，x2y2取得最大值、最小值最大值、最小值各是多少解：如图，作出可行域(图中的阴影局部)，可行域是封闭的ABC(包括边界)，由得顶点A(2，3)，同理可得B(0，2)，C(1，0)，因为x2y2是可行域内一点P(x，y)到原点的距离的平方，所
11、以，当P(x，y)和A(2，3)重合时，(x2y2)max223213，显然，原点到直线BC：2xy20的距离d最小，这里d，(x2y2)mind2，此时点P的坐标满足即点P的坐标为P.综上可知，当x2，y3时，x2y2取得最大值，最大值是13；当x，y时，x2y2取得最小值，最小值是.点拨：此题不是求线性目标函数的最优解，而是求a2b2取得最大值、最小值问题，理解待求式的几何意义并准确画图是解这类题目的关键，同时注意取得最值的点不一定在顶点处取得，此题的最小值就是利用距离公式求得的.实系数方程f(x)x2ax2b0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，求：(1)的值域；(2)(a1
12、)2(b2)2的值域.解：由题意知可行域是一个不包括边界的三角形，其顶点为A(3，1)，B(2，0)，C(1，0).如以下图.(1)设kbk(a1)2，那么k表示可行域内一个动点P(a，b)和定点Q(1，2)连线的斜率，因为A(3，1)，C(1，0)，那么kAQ，kCQ1，kAQkkCQ，k1.的值域是.(2)(a1)2(b2)2表示可行域内一个动点P(a，b)和定点Q(1，2)的距离的平方，显然，当动点P(a，b)和点C(1，0)重合时距离最小，最小值为2，而P(a，b)和点A(3，1)重合时距离最大，最大值为，所以(a1)2(b2)2的值域为(8，17).类型五线性规划与整点问题设不等式组
13、所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为an(anN*)，那么数列an的通项公式为_.解：直线ynx3nn(x3)，过定点(3，0)，由ynx3n0得x3，又x0，所以x1或x2.直线x2交直线ynx3n于点(2，n)，直线x1交直线ynx3n于点(1，2n)，所以整点个数ann2n3n.故填3n.点拨：求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法先作出可行域中的各整点.设实数x，y满足不等式组假设x，y为整数，那么3x4y的最小值为()A.14 B.16 C.17 D.19解：画出可行域如图，令3x4yz，yx，过x轴上的整点(
14、1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当yx过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时zmin34416.应选B.类型六线性规划在实际问题中的应用某农户方案种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、本钱和售价如下表年产量/亩年种植本钱/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植本钱)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为_，_.解：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，总利润为z万元，那么目标函数为z(0.554x1.2x)(0.
