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1、2012高考理科数学讲析练精品学案第1章 集合与函数概念第4讲 函数的单调性与最值254201848.doc 2012高考理科数学讲析练精品学案 第1章 集合与函数概念 第4讲 函数的单调性与最值 ?知识梳理 函数的单调性定义: 的定义域为，区间 设函数AI,Ay,f(x)如果对于区间内的任意两个值，当时，都有，那么就Ixx,xf(x),f(x)x112122在区间上是单调增函数，称为的单调增区间 说IIy,f(x)y,f(x)如果对于区间内的任意两个值，当时，都有，那么就Ixx,xf(x),f(x)x112122说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间 IIy,f(x)y,f(x)如果用导数
2、的语言来，那就是: ,设函数，如果在某区间上，那么为区间上的增函数; IIy,f(x)f(x),0f(x),如果在某区间上，那么为区间上的减函数; IIf(x),0f(x)1( 函数的最大(小)值 设函数的定义域为 Ay,f(x)如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称x,Af(x),f(x)f(x)x,A000为的最大值; y,f(x)如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称x,Af(x),f(x)f(x)x,A000为的最小值。 y,f(x)?重、难点突破 重点:掌握求函数的单调性与最值的方法 难点:函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性与最值 重难点:1.对函数单调性的理
3、解 (1) 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域; (2)函数单调性定义中的x，有三个特征:一是任意性;二是大小，即 x12- 1 - 254201848.doc ;三是同属于一个单调区间，三者缺一不可; x,x(x,x)1212,(3)若用导数工具研究函数的单调性，则在某区间上()仅是If(x),0f(x),0f(x)为区间上的增函数(减函数)的充分不必要条件。 I(4)关于函数的单调性的证明，如果用定义证明在某区间上的单 Iy,f(x)调性，那么就要用严格的四个步骤，即?取值;?作差;?判号;?下结论。但是要注意，不能用区间上的两个特殊值来代
4、替。而要证明在某区间上不是单调递增的，IIy,f(x)只要举出反例就可以了，即只要找到区间上两个特殊的，若，有Ixx,xx1122即可。如果用导数证明在某区间上递增或递减，那么就证明在f(x),f(x)Iy,f(x)12,上或。 某区间If(x),0f(x),01(5)函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在y,(,0)x和内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递(0,，,)(,0):(0,，,)1减的，只能说函数的单调递减区间为和 y,(,0)(0,，,)x(6)一些单调性的判断规则:?若与在定义域内都是增函数(减函数)，那么f(x)g(x)在其公共定义
5、域内是增函数(减函数)。?复合函数的单调性规则是“异减同f(x)，g(x)增” 2(函数的最值的求法 (1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。 (2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。 (3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法(但有注意等号是否取得)。 (4)导数法:当函数比较复杂时，一般采用此法 (5)数形结合法:画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。 ?热点考点题型探析 考点1 函数的单调性 题型1:讨论函数的单调性 1,x,1,1,x 例1设,函数. f(x),k,
6、RF(x),f(x),kx,x,R,x,1,x,1,- 2 - 254201848.doc 试讨论函数的单调性. F(x)解题思路分段函数要分段处理，由于每一段都是基本初等函数的复合函数，所以应该用导数来研究。 11,x,1,kx,1,x解析: 因为,所以1,x. f(x),F(x),f(x),kx,x,R,x,1,x,1,x,1,kx,1, (1)当x0， F(x),k,(x,1)2(1,x), ?当时，在上恒成立，故F(x)在区间上单调递增; k,0F(x),0(,1)(,1)k1, ?当时，令，解得， x,1,k,0F(x),k,0,(x,1)2k(1,x)kk, 且当时，;当时， x,
7、1,F(x),01,x,1F(x),0kkkk在区间上单调递减,在区间上单调递增; 故F(x)(,1,)(1,1)kk1,(2)当x1时， x-10，F(x),k,(x,1) 2x,1, ?当时，在上恒成立，故F(x)在区间上单调递减; k,0F(x),0(1,，,)(1,，,)11, ?当时，令F(x),k,0,(x,1)，解得， x,1，k,024k2x,111,1,x,1，且当时，;当x,1，时， F(x),0F(x),0224k4k11故F(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增; ，(1,1)(1，,，,)22k44k综上得，?当k=0时，F(x)在区间上单调递增，F(x)在区间上单
8、调递减; (,1)(1,，,)1?当k0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减,在区间 ，(,1)(1,1)2k41k上单调递增;?当时，F(x)在区间上单调递减,在区间 k,0(,1,)(1，,，,)2k4kk上单调递增,在区间上单调递减. (1,1)(1,，,)k【名师指引】求函数的单调区间或研究函数的单调性是高考的一个热点，分段落函数用注意分段处理. 题型2:研究抽象函数的单调性 例2 定义在R上的函数，当x,0时，且对任意的a、by,f(x)f(0),0f(x),1?R，有f(a+b)=f(a)?f(b). (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的x?R，恒有f(x),
9、0; (3)求证:f(x)是R上的增函数; 2(4)若f(x)?f(2x,x),1，求x的取值范围. 解题思路抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。 2解析(1)证明:令a=b=0，则f(0)=f (0). - 3 - 254201848.doc 又f(0)?0，?f(0)=1. (2)证明:当x,0时，,x,0， ?f(0)=f(x)?f(,x)=1. 1?f(,x)=,0.又x?0时f(x)?1,0， f(x)?x?R时，恒有f(x),0. (3)证明:设x,x，则x,x,0. 1221?f(x)=f(x,x+x)=f(x,x)?f(x). 22112
10、11?x,x,0，?f(x,x),1. 2121又f(x),0，?f(x,x)?f(x),f(x). 12111?f(x),f(x).?f(x)是R上的增函数. 2122(4)解:由f(x)?f(2x,x),1，f(0)=1得f(3x,x),f(0).又f(x)是R上的增函数， 2?3x,x,0.?0,x,3. 【名师指引】解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是(3)中“f(x)=f,(x,x)+x,”2211是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略. 新题导练 21(函数的单调递减区间是( ) fxxx,log4，2A(; B(; C(; D( (0,4)(0,2)(2,4)(2,)，
11、,222解析 C;由得，又由知函数在u,4x,x,(x,2)，4u0,x,4(2,4)4x,x,02上是减函数，根据复合函数的单调性知函数的单调递减区间是 fxxx,log4(2,4)，222(函数的单调增区间为( ) yxx,，log(56)1255,A(;B(;C(;D( (3)，,(2),，,，,22,5122256()解析 D,由得或，又函数 x,2x,3x,5x，6,0u,x,x，,x,24在上是减函数，在上是减函数，所以函数 (2),，(0,，,)y,logu122的单调增区间为 (2),，yxx,，log(56)12323.已知函数，( fxxaxx()1,，a,R(?)讨论函数
12、的单调区间; fx()21,(?)设函数在区间内是减函数，求的取值范围( afx(),，,33,732解析 (1);(2) fxxaxx()1,，?a4322,(1)求导: fxxaxx()1,，fxxax()321,，2,R当时，在上递增 fx()0?fx()a?3,?0- 4 - 254201848.doc 2,aa32,当，求得两根为 a,3fx()0,x,32,aa3在递增， 即fx(),，,3,222,，,aaaa33,，,aa3递减，递增 ，,，,333,2,aa32?,7,332(2)，且解得: a,3?a,24,，,aa31,?,33,考点2 函数的值域(最值)的求法 题型1:
13、求分式函数的最值 2x，2x，a例3已知函数f(x), ,x,1,，,).x1当时，求函数的最小值; f(x)a,211 解题思路当时，这是典型的“对钩函数”，欲求其最小值，a,f(x),x，222x可以考虑均值不等式或导数; 111f(x),x，2,f(x),1,解析当时， a,222x2x,？，？。？在区间上为增函数。 x,1f(x),0f(x)1,，,)7？在区间上的最小值为。 f(1),f(x)1,，,)21【名师指引】对于函数若，则优先考虑用均值不等式求最小值，x,0f(x),x，2,2x11但要注意等号是否成立，否则会得到 f(x),(x，)，2,2x,，2,2，22x2x11而认
14、为其最小值为，但实际上，要取得等号，必须使得，这时 x,x,，,)2，22x2所以，用均值不等式来求最值时，必须注意:一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法:利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想; 题型2:利用函数的最值求参数的取值范围 2x，2x，af(x),例4已知函数 ,x,1,，,).x- 5 - 254201848.doc 若对任意恒成立,试求实数的取值范围。 axfx,，,1,),()0的取值范围，应从恒成立的具体情况开始。 解题思路 欲求参数axfx,，,1,),
15、()02x，2x，a解析在区间上恒成立; ？f(x),01,，,)x2在区间上恒成立; ？x，2x，a,01,，,)2在区间上恒成立; ？x，2x,a1,，,)2函数在区间上的最小值为3， ？y,x，2x,a,31,，,)即 a,3【名师指引】这里利用了分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值。 题型3:求三次多项式函数的最值 2f(x),(x，1)(x，a) 例5已知为实数，函数，若，求函数在af(,1),0y,f(x)3上的最大值和最小值。 ,1,2解题思路求三次多项式函数在闭区间上的最值，应该用导数作为工具来研究其单调性。 ，322,解析?， f(,1),0，由f(x),x，ax，x，a,f(x),3x，
