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1、第十一章 弹性力学的变分原理知识点静力可能的应力 弹性体的功能关系 功的互等定理 弹性体的总势能 虚应力 应变余能函数 应力变分方程 最小余能原理的近似解法 扭转问题最小余能近似解 有限元原理与变分原理 有限元原理的基本概念 有限元整体分析几何可能的位移虚位移虚功原理最小势能原理瑞利 -里茨 (Rayleigh-Ritz) 法伽辽金(anQp K法h最小余能原理平面问题最小余能近似解 基于最小势能原理的近似计算方法 基于最小余能原理的近似计算方法 有限元单元分析一、内容介绍由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题， 只能采用半逆解方法得到个别问题解答。 一般问题的求解是
2、十分困难的， 甚至是 不可能的。因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基 本方程的定解问题， 转换为求解泛函的极值或者驻值问题， 这样就将基本方程由 偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。 变分原理不仅是弹性力学近似解 法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理， 并且应用变分原理求解弹 性力学问题。最后，将介绍有限元方法的基本概念。本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习 附录3或者查阅参考资料。二、重点1几何可能的位移
3、和静力可能的应力； 2、弹性体的虚功原理；3、 最小势能原理及其应用；4、最小余能原理及其应用；5、有限元原理 的基本概念。1.1弹性变形体的功能原理学习思路：本节讨论弹性体的功能原理。能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使 得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。而功能关系是能量原理的基础。首先建立静力可能的应力：，和几何可能的位移概念；静力可能的应力和几何可能的位移：可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状 态，二者彼此独立而且无任何关系。建立弹性体的功能关系。功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一 组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应
4、力在与上述几何可能 的位移对应的应变分量上所做的功。学习要点：1、静力可能的应力；2、几何可能的位移；3、弹性体的功能关系；4、真实应力和位移分量表达的功能关系。1、静力可能的应力假设弹性变形体的体积为 V，包围此体积的表面积为S。表面积为S可以分 为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为Su；另外一部分是表面积的 面力给定，称为S 0如图所示显然S=Su+Sc假设有一组应力分量 刁 在弹性体内部满足平衡微分方程在面力已知的边界S；，满足面力边界条件这一组应力分量称为静力可能的应力。静力可能的应力未必是真实的应力， 因为真实的应力还必须满足应力表达的变形协调方程，但是真实的应力分量必然
5、是静力可能的应力。为了区别于真实的应力分量，我们用），表示静力可能的应力分量。2、几何可能的位移假设有一组位移分量Ui和与其对应的应变分量；ij，它们在弹性体内部满足几 何方程在位移已知的边界Su上，满足位移边界条件这一组位移称为几何可能的位移。几何可能的位移未必是真实的位移，因为 真实的位移还必须在弹性体内部满足位移表示的平衡微分方程；在面力已知的边界S匚上，必须满足以位移表示的面力边界条件。但是，真实的位移必然是几何 可能的。为了区别于真实的位移，用 ；表示几何可能的位移。几何可能的位移产生的应变分量记作二。3、弹性体的功能关系对于上述的静力可能的应力，、几何可能的位移以及其对应的应变分
6、量显，设Fbi和Fs分别表示物体单位体积的体力和单位面积的面力（面力也 包括在位移边界Su的约束反力）。则不难证明，有以下恒等式证明：由于-，和二满足几何方程，而且应力是对称的，所以 将上式代入等式的右边，并且利用高斯积分公式，可得 由于满足面力边界条件，上式的第一个积分为 由于满足平衡微分方程，所以第二个积分为 将上述结果回代，可以证明公式为恒等式。4、真实应力和位移分量表达的功能关系公式 jjj恥w叩恥:吐寓少 揭示了弹性体的功能关系。功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能位移上所做的 功，等于任意一组静力可能应力在上述几何可能位移对应的应变分量上所做的 功。这里需要强调指
7、出的是：对于功能关系的证明，没有涉及材料的性质，因此 适用于任何材料。当然，证明时使用了小变形假设，因此必须是满足小变形条件。其次，功能关系中，静力可能的应力二八几何可能的位移；以及其对应的 应变分量*，可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼 此独立而且无任何关系。假如静力可能的应力和几何可能的应变分量二满足材料本构方程时，则 对应的静力可能的应力二、和几何可能的位移：以及其对应的应变分量二均成 为真实的应力，位移和应变分量。对于真实的应力，位移和应变分量，功能关系 为显然这是应变能表达式。不过在应变能公式中，假设外力，即体力和面力是 由零缓慢地增加到最后的数值的，因此应变能
8、关系式中有1/2。而在功能关系公式的推导中，并没有这一加载限制。功能关系是弹性力学中的一个普遍的能量关系，这一原理将用于推导其它的 弹性力学变分原理。1.2变形体的虚功原理学习思路：本节讨论的重点是弹性体的虚功原理。首先定义虚位移概念，通过将几何可能的位移定义为真实位移与虚位移的 和，可以确定虚位移是位移边界条件所容许的位移微小改变量。对于虚位移所产生的虚应变，记作-Tj。根据弹性体的功能关系，可以得到虚功方程表达式W = U。虚功方程的意义为：如果弹性体是处于静力平衡状态的，外力在虚位移上所 做的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。这就是虚功原理。虚功原理等价于平衡
9、微分方程和面力边界条件，它满足了静力平衡的要求。学习要点:1、虚位移与虚应变；2、虚功原理；3、虚功原理的意义1、虚位移与虚应变功是指力与力作用点处沿力方向位移的乘积。显然，功包括力和位移两个基 本量。如果力或者应力在其自身引起的真实位移或者应变上作功，这种功称为实功；如果力或者应力在其他某种原因引起的微小位移或者应变上作功，这种功称为虚功。设几何可能的位移为这里Ui为真实位移，称为虚位移。虚位移是位移边界条件所容许的位移 的微小改变量。由于几何可能的位移在边界 Su上，应该满足位移边界条件，因 此，边界Su,有d ui=0将几何可能位移公式代入几何方程显然，上式右边的第一项是真实应变，而第二
10、项是虚位移所产生的虚应变， 记作：帀。因此，上式可以写作几何可能的位移对应的应变可以用真实应变与虚位移所产生的虚应变之和 表示。2、虚功原理如果用虚位移表达的几何可能位移二讥；丄、和真实应力作为静力可 能应力代入功能关系表达式 jjj恥W + jJ恥訂0罔少，注意到 $ 真实应力和位移是满足功能关系的，因此可以得到用虚位移 Ui和虚应变；ij表 达的虚功方程上式中应力分量为实际应力。注意到在位移边界Su上，虚位移是恒等于零的， 所以在上述面积分中仅需要在面力边界 S；：.上完成。就力学意义而言，虚功原理表达式的等号的左边为外力在虚位移中所做的 功，称为外力虚功 W ;右边为应力分量在虚位移对应
11、的虚应变上产生的应变能， 称为虚应变能 U 。即、W = U根据上述分析，可以得出结论：如果弹性体是处于静力平衡状态的，对于满足变形连续条件的虚位移及其虚应变而言， 外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。这就是虚功原理 3、虚功原理的意义对于虚功方程.-，其右边的积分可以写作上式在推导中应用了在位移边界 S 上，- ui二0的边界条件。现在将上式回 代到虚功方程，整理可得 因为虚位移Ui是任意的，因此上式的成立，要求在弹性体内 在位移已知边界Su上，有显然，虚功原理等价于平衡微分方程和面力边界条件，它满足了静力平衡的 要求。应该指出：虚功原理的推导并
12、没有涉及任何材料性质，因此适用于任何材 料。当然，由于使用了小变形假设，即线性的几何方程，因此虚功原理必须是在 小变形条件下适用于任何材料。除此以外应力和应变分量之间不需要满足任何关 系。11.3功的互等定理学习思路：本节讨论功的互等定理。定理的证明比较简单，将功能方程应用于同一弹性 体的两种不同的受力和变形状态，则可以得到功的互等定理。它是弹性体功能原 理的另一种应用形式。功的互等定理可以描述为：作用在弹性体上的第一种状态的外力，包括体力 和面力，在第二种状态外力对应的位移上所做的功为例，等于第二种状态的外力在第一种状态对应的位移上所做的功。功的互等定理是一个十分重要的力学概念。 它的应用可
13、以帮助我们推导和理 解有关的有关的力学公式和概念，同时也可以直接用于求解某些弹性力学问题。学习要点：1、功的互等定理1、功的互等定理如果将功能方程工附Jd!|丁宀丄,应用于同一弹性体 的两种不同的受力和变形状态，贝冋以得到功的互等定理。假设第一种状态的体力为 .，在面力边界s；：上的面力为 ,在位移已知的 边界Su的位移为匚，弹性体内部的应力，应变和位移分别为久匚 亠； 第二种状态的体力，面力，应力，应变和位移分别为，.， 丁 1。由于两种状态的应力和应变分量都是真实解，所以它们当然也就是静力可能的和几何可能的。现在把第一种状态的应力作为静力可能的应力，而把第二种状态的位移和应 变作为几何可能
14、的位移和应变。将上述两种状态的应力和位移分别代入功能方 程，有同理，把第二种状态的应力取为静力可能的应力，而把第一种状态的位移和 应变作为几何可能的位移和应变分别代入功能方程，有 对于上述公式的右边，由于所以上式称为功的互等定理。功的互等定理可以叙述为：作用在弹性体上的第一 种状态的外力，包括体力和面力，在第二种状态对应的位移上所做的功等于第二 种状态的外力在第一种状态对应的位移上所做的功。功的互等定理是一个十分重要的力学概念。主要用于推导有关的力学公式， 也可以直接用于求解力学问题。11.4位移变分方程-最小势能原理学习要点：本节讨论最小势能原理。首先根据虚功原理推导应变能的一阶变分表达式，
15、 然后根据任意几何可能位移场与真实位移场的总势能的关系，得到真实位移场的 总势能取最小值的结论。最小势能原理用数学方程描述：总势能的一阶变分为零，而且二阶变分大于 零。最小势能原理等价于以位移表示的平衡微分方程和以位移表示的面力边界 条件，所以，对于一些按实际情况简化后的弹性力学问题，可以通过最小势能原理推导出其对应的平衡微分方程和面力边界条件。本节通过例题对此作了说 明。推导中设应变能密度函数是应变分量的函数，因此最小势能原理是位移解法 在变分原理中的应用。进入本节内容学习之前，应该首先学习有关泛函和变分的基础知识。学习思路：1、总势能；2、总势能的变分；3、最小势能原理；4、最小势能原理推导弯曲问题的平衡微分方程和面力边界条件； 5、最小势能原理推导扭转问题的平衡微分方程和面力边界条件 。1、总势能下面根据虚功方程推导仅应用于弹性体的最小势能原理。设应变能密度函数是应变分量的函数，则应变能密度函数的一阶变分为 上式推导中，应用了格林公式，将上式代入虚功方程，则上式表示外力虚功等于弹性体应变能的一阶变分。定义外力势能为注意到虚位移与真实的应力无关，
