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1、第四节-泰勒级数与幕级数第四节泰勒级数与幂级数教学目的：理解幂级数收敛半径的概念，并掌握 幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法； 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性、逐项微分和逐项积分)，会求一 些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出 某些常数项级数的和；了解函数展开为泰勒级数 的充分必要条件、掌握 ex,sin x,cosx， ln(1 x)和(1 x)的 麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接 展开成幂级数。教学重点：幂级数的收敛半径、收敛区间及收 敛域；ex,sinx,cosx， ln(1 x)和(1 a)的麦克劳林展开式。 教学难点：幂级数的收敛域及和函
2、数。教学时数：4教学内容：一、函数项级数的概念1 函数项级数的定义定义：设函数Un(x)(n 1,2,3 -)都在D上有定义，则称表 达式Un（x）5（X）U2（X）n 11为定义在D上的一个函数项级数，Un(X)称为通项， S(x)Uk(x)称为部分和函数.k 12 收敛域定义：设U(X)是定义在D上的一个函数项级数，n 1Xo D，若数项级数Un(Xo)收敛，则称Xo是Un(X)的一一n 1n 1个收敛点.所有收敛点构成的集合称为级数的收 敛域.3. 和函数定义：设函数项级数U(X)的收敛域为I，贝M壬给n 1X I ,存在唯一的实数S(X),使得S(X) Un(X)成立.定n 1义域为I
3、的函数S(X)称为级数Un(X)的和函数.n 1评注：求函数项级数收敛域时，主要利用收敛域 的定义及有关的数项级数的判别法.二、幂级数1 幂级数的定义定义：设a”(n 0,1,2,)是一实数列，则称形如 a”(x Xo)n的函数项级数为Xo处的幂级数.n 0Xo 0时的幂级数为anXn .n 022 阿贝尔定理定理：对幂级数 an(x xo)n有如下的结论：n 0如果该幂级数在点Xi收敛，则对满足x Xo x, Xo 的一切的x对应的级数a”(x xo)n都绝对收敛；n 0 如果该幂级数在点如发散，则对满足x xo x2甸的一切的x对应的级数a(x xo)n都发散.n 0例1：若幂级数an(x
4、 2)n在x 1处收敛，问此级数n 0在x 4处是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？解：由阿贝尔定理知，幂级数a”(x 2)n在x 1处收n 0敛，则对一切适合不等式x 2 I 1 2 3 (即1 x 5)的x该级数都绝对收敛.故 所给级数在x 4处收敛且绝对收敛.3.幂级数收敛半径、收敛区间如果幂级数a(x x0)n不是仅在x x处收敛，也n 0不是在整个数轴上收敛，则必定存在一个正数R , 它具有下述性质： 当|x幻R时，a(x x)n绝对收敛；n 03当x X R时，an(x Xo)n发散.n 0如果幂级数an(x Xo)n仅在X Xo处收敛，定义R 0 ；n 0如果幂级数an(x
5、 Xo)n在(，)内收敛，则定义n 0R则称上述R为幂级数an(x X0)n的收敛半径.称开区n 0间(X。R,X0 R)为幂级数an(x X0)n的收敛区间.n 04. 幂级数收敛半径的求法求幂级数a”(x X0)n的收敛半径Rn 0法一：求极限(x X0) limnan i(x 灯 1an(x X0)n令(x X0) 1X X0则收敛半径为R m ；法二：若an满足an 0，则R nimanan 1法三；求极限 (X X0) lim n an(x X0)n令(x X0) 1X X0则收敛半径为R m .例2:求下列幂级数的收敛域(X 5)nnXn 12n n! 解：收敛半径R nimana
6、n 1limn12n 1( n 1)!2nn! 1所以收敛域为（收敛半径R nim)；anan 1lim丄 n Vn当x 51时，对应级数为（1，lim、/这是收敛的交错级数，当x 5 1时，对应级数为、/丄这是发散的P级数，n 1 、n于是该幂级数收敛域为由于（X） nim2n 12n1 X4,6)；2n(2n 1)x2n 22n 1n 12令（x） 1，可得|x 42，所以收敛半径为R近 当x迈时，对应的级数为 呼，此级数发散，于是原幂级数的收敛域为（迄迈）.5. 幂级数的性质设幂级数an(x xo)n收敛半径为R ；bn(x Xo)n收n 0n 0敛半径为氏，则1 an(x xo)nbn
7、(x Xo)n(a. bn)(x Xo)n , 收敛半径n 0n 0n 0R min(R1, R2)；5(aibn i)(x Xo)n ,n 0 i 1收敛半径an(x Xo)n bn(X X。门n 0n 0R min(R, R)；3 幂级数an(x xo)n的和函数S(x)在其收敛域I上连n 04.幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，且求导后所得到的幂级数的收敛半径仍为R .即有S (x) an(x x0)nan(x X)nna.(x x)n 1 n 0n 0n 15 幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，且积分后所得到的幂级数的收敛半径仍为R.即有XXx11S(x)dx an(x x)ndxan
8、(x x)ndxa.(x x)nX0冷 n 0n 0 X0n 0 n 1例3:用逐项求导或逐项积分求下列幂级数在 收敛区间内的和函数(1)n xn 1( 1 x 1)n 14n 1X (1x1)m4 n 1解：令 S(x)nxn 1( 1 x 1)，贝Vn 1S(x)dxnx1)dx所以S(x)1 X X(1 X)21(1 X)2x 1)；S(x)4nxn 1所以 S(x) ：dx0 1 x0( 11 12 1 x2)dx令 S(x) -(1x1)，则n i 4n 14n 1x14n 1)J所以和函数为s(x)2, x(1 x)(1,1)。1,1x1Inarctan x x41x2例4：求幂级
9、数(2n 1)xn的收敛域，并求其和函数n 0解：易求得收敛域为(1,1)(2nn 01)xn =2n xn + xn = 2x (xn)n 0n 0n 0三、函数展开成幂级数1函数展开成幂级数的定义定义：设函数f(x)在区间I上有定义，沟I，若存 在幂级数a”(x x0)n，使得n 0f (x)an(x x0)n, x In 0则称f(x)在区间I上能展开成x0处的幂级数.72. 展开形式的唯一性定理：若函数f(x)在区间I上能展开成X0处的幂级 数f(x)an(x Xo)n, x In 0则其展开式是唯一的，且and (n 0,1,2,).n!3. 泰勒级数与麦克劳林级数泰勒级数与麦克劳林
10、级数的定义定义：如果f(x)在xo的某一邻域内具有任意阶导数，则称幂级数f%)n!(x xo)nf(xo)4x xo)皿(x xo)n1!n!为函数f(x)在x点的泰勒级数.当xo o 时， 称幂 级数f(o)nn!f(n)(o) n!为函数f(x)的麦克劳林级数.函数展开成泰勒级数的充要条件 定理：函数f(x)在xo I处的泰勒级数在I上收敛到f(x)的充分必要条件是：f(X)在x处的泰勒公式n f (k)(x )f(x) 严(X xo)kR(x)k o k!8的余项尺（X）在I上收敛到零，即对任意的XI，都 有lim尺（X） 0n4. 函数展开成幂级数的方法直接法利用泰勒级数的定义及泰勒级
11、数收敛的充 要条件，将函数在某个区间上直接展开成指定点 的泰勒级数的方法.间接法通过一定的运算将函数转化为其它函数，进 而利用新函数的幂级数展开将原来的函数展开 成幂级数的方法所用的运算主要是四则运算、 （逐项）积分、（逐项）求导、变量代换利用 的幂级数展开式是下列一些常用函数的麦克劳 林展开公式.幂级数常用的七个展开式n!sin x2n 1(1)n(2!cosx2n(1冷ln(1 x)n 1(1)nh(1 x)1)(2!Inx ( 1,1)9nX ,1 X n0X ( 1,1)(1)nn 0X ( 1,1)例5：将f(x)山亠展开成X 1的幂级数1 X解：由于 f(X) Inx ln(1 X)，而In x ln1 (x 1)(1)n1( 1 x 1n 1n1);ln(1 x) ln2x(x 1) In 2 ln(1 -1(71)所以 f(x) ln2 ( 1)n1-(1 衿)(x 1)n(0 x 2)。 n 1nn 0 10例6：将函数f(x) 丁 展开成X的幂级数。并指x 3x 2出其收敛域。解：因为f(x)1(1 x)(2 x)2)所以f(x)1x2 3x 2no(1扣收敛域为(11)。111 x/ d 八2x(F c E，x (1J)。xn(x 1);
