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1、- 第一讲 函数、极限、连续1、根本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：，图像关于原点对称。 偶函数：，图像关于y轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 1假设，则是比高阶的无穷小量。2假设不为0，则与是同阶无穷小量 特别地，假设，则与是等价无穷小量3假设，则与是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。4、两个重要极限 1 使用方法：拼凑 ，一定保证拼凑sin后面和分母保持一致 2 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。5、的
2、最高次幂是n,的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。,以一样的比例趋向于无穷大；，分母以更快的速度趋向于无穷大；，分子以更快的速度趋向于无穷大。7、左右极限 左极限：右极限：注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。8、连续、连续 连续的定义： 或 连续：使得连续定义无法成立的三种情况 记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等9、连续点类型 1、第二类连续点：、至少有一个不存在 2、第一类连续点：、都存在 注：在应用时，先判断是不是第二类连续点，左右只要有一个不存在，就是第二类然后再判断是不是第一类连续点；左右相等是可去，
3、左右不等是跳跃10、闭区间上连续函数的性质（1） 最值定理：如果在上连续，则在上必有最大值最小值。（2） 零点定理：如果在上连续，且，则在至少存在一点，使得第三讲 中值定理及导数的应用1、 罗尔定理如果函数满足：1在闭区间上连续；2在开区间a,b可导；3，则在(a,b)至少存在一点，使得b记忆方法：脑海里记着一幅图：2、 拉格朗日定理如果满足1在闭区间上连续 2在开区间a,b可导； 则在(a,b)至少存在一点，使得脑海里记着一幅图： *推论1 ：如果函数在闭区间上连续，在开区间a,b可导，且，则在=C恒为常数。 记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。*推论2：如果在上连续，在开区间可
4、导，且，则 记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等3、 驻点 满足的点，称为函数的驻点。几何意义：切线斜率为0的点，过此点切线为水平线4、极值的概念设在点的*邻域有定义，如果对于该邻域的任一点*,有，则称为函数的极大值，称为极大值点。设在点的*邻域有定义，如果对于该邻域的任一点*,有，则称为函数的极小值，称为极小值点。记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。5、 拐点的概念连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。注在原点即是拐点6、 单调性的判定定理设在可导，如果，则在单调增加；如果，则在单调减少。 记忆方法：在图像上但凡和右手向上趋势吻合的，是单调增
5、加，；在图像上但凡和左手向上趋势吻合的，是单调减少，；7、 取得极值的必要条件可导函数在点处取得极值的必要条件是8、 取得极值的充分条件第一充分条件：设在点的*空心邻域可导，且在处连续，则（1） 如果时，; ,则在处取得极大值；（2） 如果时，；，则在处取得极小值；（3） 如果在点的两侧，同号，则在处没有取得极值；记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。第二充分条件：设函数在点的*邻域具有一阶、二阶导数，且，则 1如果，则在处取得极大值； 2如果，则在处取得极小值9、 凹凸性的判定设函数在具有二阶导数，1如果，则曲线在凹的；2如果，则在凸的。图像表现：凹的表现
6、凸的表现10、 渐近线的概念曲线在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。（1） 水平渐近线：假设,则有水平渐近线 (2) 垂直渐近线：假设存在点，则有垂直渐近线（2） 求斜渐近线：假设，则为其斜渐近线。11、 洛必达法则遇到 、，就分子分母分别求导，直至求出极限。如果遇到幂指函数，需用把函数变成 、。第二讲 导数与微分 1、 导数的定义1、2、3、注：使用时务必保证后面和分母保持一致，不一致就拼凑。2、 导数几何意义：在处切线斜率法线表示垂直于切线，法线斜率与乘积为13、 导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。4、 求导方法总结1、导数的四则运算法则2、复
7、合函数求导：是由与复合而成，则3、隐函数求导 对于，遇到y，把y当成中间变量u，然后利用复合函数求导方法。4、参数方程求导 设确定一可导函数，则(5) 、对数求导法 先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导6、幂指函数求导 幂指函数，利用公式然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。 第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导注：优选选择第二种方法。5、 高阶导数对函数屡次求导，直至求出。6、 微分 记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加，不需要单独记忆。7、 可微、可导、连续之间的关系可微可导可导连续，但连续不一定可导8、 可导与连续的区别。脑海里记忆两幅图
8、1 2在*=0既连续又可导。 在*=0只连续但不可导。所以可导比连续的要求更高。第四讲 不定积分一、 原函数与不定积分1、 原函数：假设，则为的一个原函数；2、 不定积分：的所有原函数+C叫做的不定积分，记作二、 不定积分公式记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式三、不定积分的重要性质1、2、注：求导与求不定积分互为逆运算。四、 积分方法1、 根本积分公式2、 第一换元积分法凑微分法把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。3、 第二换元积分法三角代换三角代换主要使用两个三角公式：4、 分部积分法 第五讲 定积分1、定积分定义 如果在上连续，则在上一定可积。理解：既然在闭区间上连
9、续，则在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为面积是常数，所以定积分如果可积也是常数。2、定积分的几何意义（1） 如果在上连续，且，则表示由，*轴所围成的曲边梯形的面积。S=。（2） 如果在上连续，且， S=。3、定积分的性质： 1 2=345如果，则6设m,M分别是在的min, ma*,则 M m 记忆：小长方形面积曲边梯形面积大长方形面积7积分中值定理 如果在上连续，则至少存在一点，使得 记忆：总可以找到一个适当的位置，把凸出来的局部切下，剁成粉末，填平在凹下去的局部使曲边梯形变成一个长方形。 称为在上的平均值。4、 积分的计算1、变上限的定积分注：由此可看出来是
10、的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有一个是而不是t2、牛顿莱布尼兹公式 设在上连续，是的一个原函数，则 由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分，只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。5、 奇函数、偶函数在对称区间上的定积分1、假设在上为奇函数，则 2、假设在上为偶函数，则注：此方法只适用于对称区间上的定积分。6、 广义积分（1） 无穷积分7、 定积分关于面积计算 面积，记忆：面积等于上函数减去下函数在边界上的定积分。 d c 面积S= 记忆方法：把头向右旋转90就是第一副图。8、 旋转体体积（1） y a b *曲线绕 轴旋转一周所得旋转体体积 ： 2、
11、 a b 阴影局部绕绕 轴旋转一周所得旋转体体积： 3、 y d c *绕轴旋转一周所得旋转体体积 ： (4)、 y d c * 阴影局部绕绕轴旋转一周所得旋转体体积:二、直线与平面的相关考试容一、 二元函数的极限定义：设函数在点*邻域有定义但点可以除外，如果当点无论沿着任何途径趋向于时，都无限接近于唯一确定的常数A，则称当点趋向于时，以A为极限，记为二、 二元函数的连续性 假设，则称在点连续。注：的不连续点叫函数的连续点，二元函数的连续点可能是一些离散点，也可能是一条或多条曲线。三、 二元函数的偏导数四、 偏导数求法由偏导数定义可看出，对哪个变量求偏导就只把哪个变量当成自变量，其它的变量都当
12、成常数对待。五、 全微分：六、 二元函数的连续、偏导、可微之间的关系二元函数可微，则必连续，可偏导，但反之不一定成立。假设偏导存在且连续，则一定可微。函数的偏导存在与否，与函数是否连续毫无关系。七、 二元复合函数求偏导 设， 则 ， 注：有几个中间变量就处理几次，按照复合函数求导处理。八、 隐函数求偏导方程确定的隐函数为，则对等号两边同时对求导，遇到的函数，把当成中间变量。第八讲 多元函数积分学知识点一、 二重积分的概念、性质 1、 ，几何意义：代表由，D围成的曲顶柱体体积。 2、性质： 1 2=+ 3、 4,=+ (5)假设，则 6假设则 (7)设在区域D上连续，则至少存在一点，使二、 计算（1） D:（2） D：，技巧：谁的围最容易确定就先确定谁的围，然后通过划水平线和垂直线的方法确定另一个变量的围 3极坐标下：三、 曲线积分1、第一型曲线积分的计算 1假设积分路径为L：，则= 2假设积分路径为L：，则=3假设积分路为L：，则= 2、第二型曲线积分的计算（1） 假设积分路径为L：，起点,终点，则（2） 假设积分路径为L：，起点，终点，则（3） 假设积分路为L：，起点，终点，则第九讲 常微分方程一、 根本概念 1微分方程：包含自变量、未知量及其导数或微分的方程叫做微
