《求偶成美巧妙解题修正稿》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求偶成美巧妙解题修正稿（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、求偶成美，巧妙解题(修正稿)所谓“求偶成美”，就是把孤立的问题让它“成双成对”，使问题在整体上构成和谐与优美自然，问题的解法也出现了和谐与优美【考题】 （2006年川卷理第15题）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|= 【思考1】 F是椭圆的一个焦点，其实椭圆有两个对称的焦点，考虑“配偶”，比考虑“单身”更和谐，更美好【解法1】 设分别是椭圆的左、右焦点，由椭圆图形的对称性，得根据椭圆定义，得【思考2】 显然，P1，
2、P2，P2的横坐标x1，x7；x2，x6；x3，x5；分别关于原点对称，故有x1+x2+x7=0 于是考虑到椭圆的焦半径公式【解法2】 设F为椭圆的左焦点（c ，0），则有|PF|=a+ex 于是有|P1F|+|P2F|+|P7F|=（a+ex1）+（a+ex2）+（a+ex7）=7a+e（x1+x2+x7）=7a=35【点评】 利用对称性，使用“求偶之计”显示其问题的完美性以成和谐配偶的结果，在解法1里得到完整（2a）；在解法2里得以抵消（成0）在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式实行适当的和,差,积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决
3、，收到事半功倍的效果。下面通过实例来谈谈构造对偶式的方法与策略。一 和差对偶对于表达式，我们可构造表达式作为它的对偶关系式。使得两式相加(减)出现公式,或两式相加(减)出现相互抵消的情况, 或两式相加(减)后能与题设已知条件挂钩.例若，且，求的值。解析：构造对偶式：则得再由，得：。点评：构造对偶式：后,可分别把用表示出来,再利用同角三角函数平方关系建立方程,将求出来.则的值求出来,再求得.这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造水平。例.已知：，且，求证：。解：则有：又，故，即原不等式成立。点评：这个对偶式构造得好！由从而有它的到来使问题出现了平均值不等式的迹象,一下
4、子使问题冰雪消融了。解法自然，朴素，过程简洁，运算轻松！二 互倒对偶互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法。例3.若，求证：。解：设,构造对偶式：，则而，故，即。点评：从左到右发现缩小后未知量都不见了,且左边的三个分式的分母相加为定值.而这三个式子和待证式左边的三个分式分别搭配好后,刚好能够利用平均值不等式.从而轻松达到解决问题的目的.通过取倒数创造平均值不等式的条件是解决这类问题的关键.例4.设为互不相等的正整数，求证：。解：设，构造对偶式：则 又为互不相等的正整数，所以，所以。点评：观察待证不等式左右两边的结构特征,发现从左到右不见了,而右边恰好是左边各项
5、前的系数开平方.从而构造对偶式：,再分别与中的项两两搭配利用平均值不等式可达到解决问题的目的.解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对难点的突破，以达化解问题目的。三 倒序对偶倒序对偶是指针对式子的结构，通过和式或积式实行倒序构造对偶式的方法。例5.求和：解析：观察和式联想到，故首先在和式右边添上一项，则 构造对偶式： 即亦为： 由得：点评：此和式中的每项都由前面的系数和后面的组合数符号相乘而成,要将和求拢来, 利用可达到目的,但前面的系数不同,发现前面的系数成等差数列, 而,故首先在和式右边添上一项后,再按顺序倒写即成为原式的对偶式，使问题本身变得简单，如此
6、处理，可谓“胜似闲庭信步”，岂不妙哉！例6.正项等比数列中，试用，表示。由题意知： 构造倒序对偶式： 由得：，即再来看： 构造倒序对偶式： 即得：，即。由等比数列性质可知，右边的分母均为，故即，又 。评析：传统解法都用表示，及，然后通过和找到，的等量关系，这种解法虽思路准确，但运算繁琐，加之在用等比数列求和公式时还要讨论和两种情形，如此解题会陷入漫漫无期的运算之中，很少有人能够到达终点。其实，观察和式子与积式特征采取“本末倒置”构造倒序对偶序式一试。确实是高招!四 定值对偶定值对偶是指能利用和，差，积，商等运算产生定值，并借此构造出对偶式的方法。例7.已知函数。，则。解析：发现定值：。那么构造
7、对偶式：由得：，即。评析：本题轻松解决问题的关键是发现定值：。只要两个自变量互为倒数,则其函数值之和便为定值.从而可构造对偶式,两两搭配.本题由于函数值个数不多,如果没发现此规律,可一个个将函数值求出来再相加.但利用此规律可轻松解决任意的两两搭配的互为倒数的个自变量的函数值之和.五 奇偶数对偶奇偶数对偶指利用整数的分类中奇数与偶数的对称性构造对偶式的方法。例8求证：。解：设，构造对偶式：。由于因此，从而故。评析：从不等式的结构特征来分析,发现左边是个分数之积,从左至右放大后只有一项了,肯定要出现交叉约分的情况.而左边现有情况下无法交叉约分,因此创造交叉约分的条件是解决此问题的关键. 构造对偶式
8、：,把此式中的每个分数隔项插入后便可达目的.例9.求证：证明：待证不等式的左边为：。令：构造两个对偶式：故原不等式成立。点评：此题解法与上例类同,但要构造两个相类似的对偶式后,才能达到交叉约分之目的.对这类一边有省略号的多项情况,而另一边却简单的数学问题,要求先必须找到其内在规律来.灵活地选取解题方法，对其构造了“意想不到”的对偶式，从而完成了解答，充分体现了解题技巧。六 轮换对偶轮换对偶是指针对式子的结构，通过轮换字母而构造对偶式的方法。例10.设，求证：。证明：设，构造对偶式：，。又，即，。评析：本题构造轮换对偶式是以约分消去分母为目的,因为从左至右, 分母不见了,这是左右两边最大的差别.
9、还有左边有,而右边只有,自然而然想到用平均值不等式推论来加以论证.这个公式是解决此问题的关键.七 互余对偶三角中的正弦与余弦是两个对称元素，利用互余函数构造对偶式，借用配对思想可以轻松完成有关三角题的解答。例11已知，解方程：解析：若令，构造对偶式：则：由得：，又或或。评析：正弦与余弦函数公式多是对偶的,通过构造对偶式，为灵活地运用三角公式起了架桥的作用,创设了这一美妙而又能打开局面的有利条件，可谓“高招”！例12.求的值。解析：令，构造对偶式：，则点评：这是一道比较典型的三角求值题。通过对题目结构特征的观察，由目标导向，构造对偶式，为灵活运用三角公式创设条件,从而独辟蹊径，出奇制胜。使问题得以轻松解决.在数学解题过程中，如果我们恰当地构造对偶关系式，不仅能提高解题速度，而且能收到以简驭繁，简缩思维，拓宽思路的功效，同时还让人萌生一种“春雨断桥人不渡，小舟撑出柳阴来”的美妙感觉，对于激发学生学习数学的兴趣也是大有裨益。电子邮箱周友良 ,手机号码13037341167； 湖南祁东育贤中学 周友良 421600
