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1、建立层次结构模型 将问题包含的因素分层:最高层(解决问题的目的);中间层(实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等);最低层(用于解决问题的各种措施、方案等)。把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。 例1 购物模型 某一个顾客选购电视机时,对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据,建立层次分析模型如下: 例2 选拔干部模型 对三个干部候选人y1、y2 、y3,按选拔干部的五个标准:品德、才能、资历、年龄和群众关系,构成如下层次分析模型: 假设有三个干部候选人y1、y2 、y3,按选拔干部的五个标准:品德,才能
2、,资历,年龄和群众关系,构成如下层次分析模型 编辑构造成对比较矩阵 比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时,使用数量化的相对权重aij来描述。设共有 n 个元素参与比较,则称为成对比较矩阵。 成对比较矩阵中aij的取值可参考 Satty 的提议,按下述标度进行赋值。aij在 1-9 及其倒数中间取值。 aij = 1,元素 i 与元素 j 对上一层次因素的重要性相同; aij = 3,元素 i 比元素 j 略重要; aij = 5,元素 i 比元素 j 重要; aij = 7, 元素 i 比元素 j 重要得多; aij = 9,元素 i 比元素 j 的极其重要; aij
3、 = 2n,n=1,2,3,4,元素 i 与 j 的重要性介于aij = 2n 1与aij = 2n + 1之间; ,n=1,2,.,9, 当且仅当aji = n。 成对比较矩阵的特点:。(备注:当i=j时候,aij = 1) 对例 2, 选拔干部考虑5个条件:品德x1,才能x2,资历x3,年龄x4,群众关系x5。某决策人用成对比较法,得到成对比较阵如下: a14 = 5 表示品德与年龄重要性之比为 5,即决策人认为品德比年龄重要。 编辑作一致性检验 从理论上分析得到:如果A是完全一致的成对比较矩阵,应该有 aijajk = aik。 但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的
4、。因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性,即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。 由分析可知,对完全一致的成对比较矩阵,其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。对成对比较矩阵 的一致性要求,转化为要求: 的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。 检验成对比较矩阵 A 一致性的步骤如下: 计算衡量一个成对比矩阵 A (n1 阶方阵)不一致程度的指标CI: 其中max是矩阵 A 的最大特征值。 注解 从有关资料查出检验成对比较矩阵 A 一致性的标准RI:RI称为平均随机一致性指标,它只与矩阵阶数 有关。 按下面公式计算成对比较阵 A 的随机一致性比率 CR: 。 判断方法如下: 当CR0
5、.1时,判定成对比较阵 A 具有满意的一致性,或其不一致程度是可以接受的;否则就调整成对比较矩阵 A,直到达到满意的一致性为止。 例如对例 2 的矩阵 计算得到,查得RI=1.12, 。 这说明 A 不是一致阵,但 A 具有满意的一致性,A 的不一致程度是可接受的。 此时A的最大特征值对应的特征向量为U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。 这个向量也是问题所需要的。通常要将该向量标准化:使得它的各分量都大于零,各分量之和等于 1。该特征向量标准化后变成U = (0.4759,0.2636,0.0538,0.0981,0.1087)Z。经过标准化
6、后这个向量称为权向量。这里它反映了决策者选拔干部时,视品德条件最重要,其次是才能,再次是群众关系,年龄因素,最后才是资历。各因素的相对重要性由权向量U的各分量所确定。 求A的特征值的方法,可以用 MATLAB 语句求A的特征值:Y,D=eig(A),Y为成对比较阵 的特征值,D 的列为相应特征向量。 在实践中,可采用下述方法计算对成对比较阵A=(a_ij)的最大特征值max(A)和相应特征向量的近似值。 定义 , 可以近似地看作A的对应于最大特征值的特征向量。 计算 可以近似看作A的最大特征值。实践中可以由来判断矩阵A的一致性。 编辑层次总排序及决策 现在来完整地解决例 2 的问题,要从三个候
7、选人y1,y2,y3中选一个总体上最适合上述五个条件的候选人。对此,对三个候选人y = y1,y2,y3分别比较他们的品德(x1),才能(x2),资历(x3),年龄(x4),群众关系(x5)。 先成对比较三个候选人的品德,得成对比较阵 经计算,B1的权向量 x1(Y) = (0.082,0.244,0.674)z 故B1的不一致程度可接受。x1(Y)可以直观地视为各候选人在品德方面的得分。 类似地,分别比较三个候选人的才能,资历,年龄,群众关系得成对比较阵 通过计算知,相应的权向量为 它们可分别视为各候选人的才能分,资历分,年龄分和群众关系分。经检验知B2,B3,B4,B5的不一致程度均可接受。 最后计算各候选人的总得分。y1的总得分 从计算公式可知,y1的总得分(y1)实际上是y1各条件得分x1(y1) ,x2(y1) ,.,x5(y1) ,的加权平均, 权就是各条件的重要性。同理可得y2,Y3 的得分为 z(y2) = 0.243,z(y3) = 0.452 比较后可得:候选人y3是第一干部人选。