幂的运算曾道荣

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1、 幂的运算幂的运算 1、22 2=2( ) 2、a a a a a = a( ) 3、a a a = a( ) n个个35n什么叫乘方什么叫乘方?乘方的结果叫做什么乘方的结果叫做什么?知识回顾知识回顾an底数底数指数指数幂幂知识回顾知识回顾知识回顾知识回顾说出说出a am m的乘法意义的乘法意义, ,并将下列各式写成并将下列各式写成乘法形式乘法形式: :(1) 108(2) (-2)4=1010101010101010=(-2)(-2)(-2)(-2) 中国奥委会为了把2008年北京奥运会办成一个环保的奥运会，做了一个统计：一平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生

2、的能量。那么105平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤？108 105情景导入情景导入试一试：试一试：=27 (乘方的意义) =(5 5 5) (5 5 5 5) = 5 5 5 5 5 5 5 =57(1) 23 24(2) 5354=(2 2 2) (2 2 2 2) (乘方的意义乘方的意义)= 2 2 2 2 2 2 2 (乘法结合律乘法结合律)=a7 (乘方的意义乘方的意义)继续探索：继续探索：(3) a3 a4=(a a a) (a a a a) (乘方的意义乘方的意义)= a a a a a a a (乘法结合律乘法结合律)=27 这几道题有什么共同的特点呢

3、这几道题有什么共同的特点呢?计算的计算的结果有什么规律吗结果有什么规律吗?(1)23 24=a7 (2)5354=57(3)a3 a4(1)23 24=a7=27 (2)5354=57(3)a3 a4 如果把如果把(3)中指数中指数3、4换成正整数换成正整数m、n，你能得出你能得出am an的结果吗？的结果吗？(4)am an =猜想猜想: am an= (当当m、n都是正整数都是正整数) am an =m个个an个个a= aaa=am+n(m+n)个个a即即:am an = am+n (当当m、n都是正整数都是正整数)（aaa） （aaa）am+n（乘方的意义）（乘方的意义）（乘法结合律）（

4、乘法结合律）（乘方的意义）（乘方的意义）同底数幂相乘同底数幂相乘， 底数底数，指数指数。不变不变相加相加八年级 数学第十四章 整式的乘法14.1.1同底数幂的乘法同底数幂的乘法 中国奥委会为了把中国奥委会为了把2008年北京奥运会办年北京奥运会办成一个环保的奥运会，做了一个统计，一平成一个环保的奥运会，做了一个统计，一平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧相当于燃烧108千克煤所产生的能量。那么千克煤所产生的能量。那么105平方千米的土地上，一年内从太阳得到平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤多少千克？的能量相当于燃烧煤多少千克

5、？108 105=1013108+5=am an = am+n14.1.1同底数幂的乘法同底数幂的乘法例1：计算 (3) a a3 a5 = a4 a5 =a9(1) 103104 (2) a a3 (3)a a3 a5解解：(1) 103104 =103+4 =107 (2) a a3 = a 1+3=a4am an = am+n八年级 数学第十四章 整式的乘法14.1.1同底数幂的乘法同底数幂的乘法a a3 a5 = a4 a5 =a9想一想想一想： 当三个或三个以上同底数幂相乘时，是当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也否也 具有这一性质呢？具有这一性质呢？ 怎样用公式表示？怎样用公式表

6、示？如如 amanap = am+n+p （m、n、p都是正整数）都是正整数）am an = am+n八年级 数学第十四章 整式的乘法14.1.1同底数幂的乘法同底数幂的乘法am an = am+n1.计算：计算： （1）107 104 ；（；（2）x2 x5 解：解：（1）107 104 =107 + 4= 1011 （2）x2 x5 = x2 + 5 = x7 （1）232425 （2）y y2 y3 解：解：（1）232425=23+4+5=212 （2）y y2 y3 = y1+2+3=y6 2.计算：计算： 牛刀小试牛刀小试八年级 数学第十四章 整式的乘法14.1.1同底数幂的乘法同

7、底数幂的乘法am an = am+n辩一辩辩一辩 a a2 a2 aa2 a3 a3 a3 a9 a3a3 a6 () () ()判断下列计算是否正确，并简要说明理由：判断下列计算是否正确，并简要说明理由： ()八年级 数学第十四章 整式的乘法14.1.1同底数幂的乘法同底数幂的乘法am an = am+n 3.计 算：(结果写成幂的形式) (- 2)4(- 2)5 = ( ) 3 ( ) 2 = (a+b)2 (a+b)5 = (-2)9(a+b)7 ( ) 5 公式中公式中的的a a可代可代表一个表一个数、字数、字母、式母、式子等子等. .八年级 数学第十四章 整式的乘法 (a-b)3(a

8、-b)5(x+y)3(x+y) (x+y)2a3m-na2m-3nan-m14.1.1同底数幂的乘法同底数幂的乘法am an = am+n想一想想一想下列各式的计算结果等于下列各式的计算结果等于的是的是A -4243 B 42(-4)3 C (-4)2(-4)3 D (-4)243计算计算(a-b)4(b-a)3xn(-x)2n-1x-a3(-a)4(-a)514.1.1同底数幂的乘法同底数幂的乘法am an = am+n这是本节课这是本节课的的难点难点,所以所以同学们要提同学们要提起精神起精神!D例1、计算下列各题（1）103104=103+4=107（2）bb3=b1+3=b4（2）aa3

9、a5=a1+3+5=a9计算计算aa2a3+a3a32x5x6+3x3x8(-2) (-2)2(-2)3(-2)10014.1.1同底数幂的乘法同底数幂的乘法am an = am+n例2：（）（-8）5（-8）7 =（-8）5+7 =（-8）12 =812 （）-x2（-x）6=-x2x6=-x2+6=-x8（）（a-b）3（b-a）6 = （a-b）3（a-b）6 =（a-b）9 （1） 8 = 2x，则 x = 3 （2） 8 4 = 2x，则 x =5 （3） 3279 = 3x，则 x =6 （4） 已知am=2，an=3,求am+n的值am+n=aman=23=6（5）已知xa+b=

10、12，xb=6，求xa的值 xa+b=xaxb即xa=xa+bxb=126=2八年级 数学第十四章 整式的乘法14.1.1同底数幂的乘法同底数幂的乘法am+n = am an 深入探索深入探索-能力挑战能力挑战1，已知，已知(x+1)(x+1)2(x+1)4=(x+1)n求的值求的值，已知，已知am=4,an=3. 求求am+n的值的值同底数幂的乘法的逆运算逆运算再求再求am+n+5的值的值八年级 数学第十四章 整式的乘法14.1.1同底数幂的乘法同底数幂的乘法am an = am+n深入探索深入探索-能力挑战能力挑战，如果，如果xm-nx2n+1=xn，且且ym-1y4-n=y7.求求m和的

11、值和的值根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空： （1 1） (23 )2 = 23 23 =2( ) （2 2） (am )n = a( ) (m、n为正整数)小结：同底数幂的乘法：同底数幂的乘法： am an = am+n (m、n为正整数为正整数) 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。am an ap = am+n+p ( m m、n n、p p为正整数为正整数)（1）x2+x2= ，x22x2= 。 称这种运算为称这种运算为 。 （2）x2 x3= ,（x）3 x2 = 。 称这种运算为称这种运算为 。 （3）（）（x2）3 = ，（x）23 = 。 称这

12、种运算为称这种运算为 。2x2- x2x5-x5x6x6合并同类项合并同类项同底数幂的乘法同底数幂的乘法幂的乘方幂的乘方复习引入新课：复习引入新课： 根据乘方的意义及同底数的幂的乘法法根据乘方的意义及同底数的幂的乘法法则填空，并观察有什么规律？则填空，并观察有什么规律？663m根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空： （1 1） (23 )2 = 23 23 =2( ) （2 2） (am )n = a( ) (m、n为正整数)幂的乘方法则：幂的乘方法则：符号叙述：符号叙述：语言叙述：语言叙述：幂的乘方，幂的乘方，底数不变，底数不变，指数相乘指数相乘项项法则法则

13、符号语言符号语言运算运算结果结果12 请比较“同底数幂相乘的法则”与“幂的乘方法则”异同：同底数幂相乘幂的乘方乘法运算乘方运算底数不变，指数相加底数不变，指数相乘底数不变底数不变指数相乘指数相加同底数幂相乘幂的乘方其中m , n都是正整数(1) (24)3= (5) (-a3)2=(2) (a5)3= (6) (-a2)3= (3) (-3)5 2= (7) (1-2b)33=(4) (-a)3 5= (8) (a3)2 4=212a15310a6-a6a24-a15(1-2b)9多重乘方：多重乘方：下列各式对吗？请说出你的观点和理由：下列各式对吗？请说出你的观点和理由： (1) (a4)3=

14、a7 ( ) (2) a4 a3=a12 ( ) (3) (a2)3+(a3)2=(a6)2 ( ) (4) (-x3)2=(-x2)3 ( ) (5) (-b3)m=(-bm)3 ( ) a8 + (a2)4 a3 . (a5)2 (x2 . x3)5 (a2 . a)3 . (a2)3 (-a3)2 . a - 2a7 - ( - a2)6 a (- a)3 . (- a2)4 计算：计算：1 1下列各式中，与下列各式中，与x x5m+15m+1相等的是（）相等的是（）（A A）（x x5 5) )m+1m+1（B B）（x xm+1m+1) )5 5 （C C） x(xx(x5 5) )

15、m m （D D） xxxx5 5x xm mc变一变2 2x x1414不可以写成不可以写成（）（）（A A）x x5 5(x(x3 3) )3 3（B B） (-x)(-x(-x)(-x2 2)(-x)(-x3 3)(-x)(-x8 8) ) （C C）(x(x7 7) )7 7 （D D）x x3 3x x4 4x x5 5x x2 2C3 3计算计算(-3(-32 2) )5 5-(-3-(-35 5) )2 2的结果是（）的结果是（）（A A）0 0 （B B） -2-23 31010（C C）2 23 31010 （D D） -2-23 37 7B下列说法中正确的是（）（A）-xn

16、等于(-x)n（B）-xn与(-x)n互为相反数（C）当n为奇数时-xn与(-x)n互为相反数（D）当n为偶数时-xn与(-x)n互为相反数D若正方体棱长是若正方体棱长是(1+3(1+3a) )3 3，则其体积是（），则其体积是（）（A A）(1+3(1+3a) )6 6（B B） (1+3(1+3a) )9 9（C C）(1+3(1+3a) )1212 （D D）(1+3(1+3a) )2727B6 6用幂的形式表示：用幂的形式表示： (1) (1) a2 2+ +a2 2；（；（2 2）a2 2a2 2；（3 3）（）（a2 2) )2 2； （4 4）a2 2a4 4+(-+(-a3 3

17、) )2 2（5 5）(3(32 2) )2 29 9 ； （6 6）2 210104 48 88 86 6幂的乘方法则的逆用：幂的乘方法则的逆用：幂的乘方的逆运算：幂的乘方的逆运算： (1).1010 = ( )2 = ( )5 (2) x13x7 =x( ) =( )5 =( )4 =( )10 (3)a2m =( )2 =( )m （m为正整数）为正整数）10510220x4x5x2ama21、若、若 a5 . (an)3 = a11，则，则n= ，2、若、若 2n+3 = 64，则，则n= ，3、已知、已知 64483 = 2n，则，则n= 。2333联系拓广联系拓广 a12 （a3）

18、( ) （a2）( )a3 a( )（ ）3 （ ）4 329m 3( ) y3n 3, y9n . （a2）m+1 . （a-b）3 2（b-a ）( )(4)设设n为正整数，且为正整数，且x2n=2，求，求9（x3n）2 的值。的值。已知已知10a=2，10b=3，求，求102a+3b的值。的值。解解： x2n=2 9（x3n）2 = 9（x2n）3 = 923=72(5)比较比较 355，444，533 的大小。的大小。解：解： 355 =（35）11 = 24311 444 =（44）11 = 25611 533 =（53）11 = 12511 444 355 533 a3aa4 a

19、= a = （ ）（a a3）5 = = （ ） 3a3a25 = 5 = ） （abab）8 = = ？ a a15 15a2同底数幂相乘同底数幂相乘同底数幂相乘同底数幂相乘幂的乘方幂的乘方幂的乘方幂的乘方乘法交换律、结合律乘法交换律、结合律乘法交换律、结合律乘法交换律、结合律正确写出得数，并说出是属于哪一种幂的运算。正确写出得数，并说出是属于哪一种幂的运算。先观察,后归纳猜想a2a切(1) = 4a2a剪(2) = 8(ab)n=an bn 归纳猜想a2a3 (2a)2(2a)3公式证明公式证明(ab)n =(ab)(ab) (ab) n个(乘方的意义)=(aaa)(bbb) (单项式的乘

20、法法则)n个n个=anbn (乘方的意义)(ab)n=an bn 即你能用语你能用语言表述言表述积的乘方法则吗？积的乘方法则吗？ 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。拓展 当三个或三个以上因式的积乘方时, 也具有这一性质例如(abc)n=anbncn例1 计算： (2b)5 (-xy)4 (-x2yz3)3 (x-1)2(1-x) 3 解： (2b)525b5 32b5 (-xy)4 (-1)4x4y4 x4y4 (-x2yz3)3 (-x2) 3y3(z3 ) 3 -x 6y3z9 (x-1)2(1-x) 3 (x-1)2 3 (1-x) 3 (x-1)

21、6(1-x) 3 (x-1) 6- (x-1) 3 - (x-1) 9思考思考： (-a)n= -an(n为正整数），对吗？为正整数），对吗？(1)(1)当当n n为为奇数奇数时，时， (-a)(-a)n n= -a= -an n(n(n为正整数）为正整数）(2)(2)当当n n为为偶数偶数时，时， (-a)(-a)n n=a=an n(n(n为正整数）为正整数）1、口答：、口答：(1)(ab)6=（ ） (2)(-a)3 = （ ） (3)(-2x)4 = （ ） (4)(ab)3 = （ ） (5)(-xy)7 = （ ） (6)(-3abc)2 =（ ） (7)(-5)32 =（ ） (

22、8)(-t)53 =（ ）、下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？、下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？ (1)(ab2)2=ab4; (2)(3cd)3=9c3d3; (3)(-3a3)2= -9a6; (4)(- x3y)3= - x6y3; （5)(a3+b2)3=a9+b6计算：计算：( )解法解法1:原式原式= 解法解法2:原式原式=原来积的乘方法则可以逆用原来积的乘方法则可以逆用即即 anbn =(ab)n二、计算二、计算:一、脱口而出：脱口而出： (1) a6y3=( )3; (2)81x4y10=( )21、在手工课上、在手工课上,小军制作了一个正小军制作了一个正方形的模

23、具方形的模具,其边长是其边长是4103,问该问该模具的体积是多少模具的体积是多少?解：（解：（4103）3 = 43（103 ）3 = 64109 = 6.41010答：该模具的体积为答：该模具的体积为6.4101032.地球可以近视地看作是球体，如果用地球可以近视地看作是球体，如果用V、R表表示球的体积和半径，那么示球的体积和半径，那么V= ，地球半径，地球半径是是6103千米，它的体积大约是多少立方千米千米，它的体积大约是多少立方千米？（？（取取3.14）解：解： V= 答：地球的体积大约是9.041011立方千米。2 2、计算、计算: (1)(2: (1)(210103 3) )3 3 (2)(- xy (2)(- xy2 2z z3 3) )2 2 (3)-4(x-y)(3)-4(x-y)2 2 3 3 (4)(t-s) (4)(t-s)3 3(s-t)(s-t)4 43、填空：、填空： (1) a6y3=( )3; (2)81x4y10=( )2(3)若若(a3ym)2=any8, 则则m= , n= .(4)32004(- )2004= (5) 2855= . 在这短短的课堂时间里，1、你有哪些收获？2、你有哪些新的感受？3、你留有哪些问题？