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1、二分法的应用你了解多少函数与方程的思想贯穿了高中数学的始终，而且函数与方程紧密联系，函数的零点就是相应方程的实数根，研究二分法求方程的近似解问题，首先是通过估算，数形结合借助计算器、计算机等手段来确定一个零点所在的大致区间。本文通过几个具体例子来看看二分法有何应用。一、求方程的近似解例1.证明方程6-3x=2x在区间1,2内有唯一一个实数解，并求出这个实数解（精确到0.1). 证明: 设函数使f(x)=2x+3x-6.f(l)=-10,又f(x)是增函数，所以函数f(x)=2x3x-6在区间1,2有唯一的零点，则方程6-3x=2x在区间1,2有唯一一个实数解 设该解为x0，则x01,2，取x1
2、=1.5，f(1.5)=0.330，. F(1)f(1.5)0， x0 (1,1.5) 取x21.25，f(1.15)0.1280，f(1)f(1.25)0，x0(1,1.25) 取x31.125，f(1.125)-0.440，f(1.125)f(1.25)0，x0(1.125,1.25) 取x41.187 5,f(1.187 5)-0.160，f (1.187 5)f(1.25)0，.x0(1.187 5,1,25)|1.25-1.87 5|=0.062 50.1，可取x01.2，则方程的实数解为x0=1.2.点评：用二分法求方程实数解的思想是非常简明的、但是为了提高解的精确度，用二分法求方
3、程实数解的过程又是较长的，有些计算不用计算工具甚至无法实施，所以需要借助科学计算器二、判断方程解的个数例2.已知函数f (x)在其定义域上是单调函数，证明f(x)至多有一个零点分析:不妨设f(x)在R上是增函数，为证明f(x)=0至多有一个实根，考虑用反证法证明证明: 假设f(x)=0至少有两个不同的实根x1,x2，且不妨设x1x2，由题意得f(x1)O,f(x2)=0, f(x1)f(x2) f(x)在定义域上是单调菌数，不妨设为增函数，由x1x2，则f(x1)f(x2)因此矛盾，假设不成立，故f(x)=0至多有一个零点三、求一定条件下的函数的零点例3.求函数f(x)=x3+x2-2x-2的
4、一个为正数的零点（精确到0.1）分析：用二分法，要注意到初始区间的选取。解：由于f(1)=-20,可取区间1,2作为计算的初始区间。用二分法逐次计算，列表如下：端点（中点）坐标计算中点的函数值取区间f(1)=-201,2x1=(1+2)/2=1.5f(x1)=0.62501,1.5X2=(1+1.5)/2=1.25f(x2)=-0.98401.25,1.5X3=(1.25+1.5)/2=1.375f(x3)=-0.26001.375,1.438X5=(1.375+1.438)/2=1.4065f(x5)=-0.0520例3题图x1-2-10y由上表的计算可知，区间1.375,1.438的长度小
5、于0.1，所以这个区间的中点x51.4可作为所求函数的一个正实数零点的近似值.函数f(x)=x3+x2-2x-2的图象如图.实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值.点评：给定精确度，用二分法求函数f(x)零点的近似值应该按课本P105的四个步骤进行.四、确定函数零点的个数例4二次函数y=ax2+bx+c中,ac0，则函数零点个数为 . 分析: c=f(0),ac=a f(0)0, a与f(0)异号.即或.函数必有两零点或ac0b2-4ac0,函数有两个零点. 答案:2.点评：用二分法求方程近似解，关键是判断近似解所在的区间（a,b），用二分法选定初始区间时，往往通过分
6、析函数图象的变化趋势，并通过试验确定端点。五、求一些无理数的值二分法不仅仅用于求函数零点或方程的根，它还有很多应用，例如求一些无理数的值，解决实际问题等例5. 求的近似值（精确到0.01) 分析：若设x=，则x3-2=0，因此的近似值就是方程x3-2=0的根的近似值，也就是函数y=x3-2的近似零点 解：设x=，则x3-2=0,令f(x)=x3-2,则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点的近似值 由于f(1)=-10,故可以取区间1,2为计算的初始区间用二分法逐步计算，列表如下： 区间1.257 812 5，1.265 625的长度1.265 625-1.257 812
7、 5=0. 007 810. 01，所以这个区间的两个端点的近似值都可以作为函数f(x)零点的近似值是1.26,即的近似值是1.26. 六、解决实际应用问题二分法不仅仅用于求函数零点或方程的根，它在现实生活中也有许多重要的应用例5.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？ 如果沿着线路一闸门（待查）指挥部一小段一小段查找，困难很多每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢 想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？ 如图，他首先从中点C查用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在B
8、C段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50100 m左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？ 解: 用简便易行的方法最多测试7次就能找到故障，方法是： 10km线路共有200根电杆 第一次测试第100根， 第二次测试有故障的一侧中的第50根， 第三次再测有故障的一侧中的第25根， 去掉一根，（有可能故障在这里） 再侧有故障的一段中的第12根， 第五次测有故障一段中的第6根，第六次侧试有故障段中的第三根第七次侧故障段中的中间一根，至此，结束侧试，故最多7次就能找到故障点评: 数学来源于生活,这是现实生活中的二分法间题这种检查线路故障的方法，就是二分法的应用，二分法不仅可用于查找电线线路、水管、气管故障，还能用于实验设计、资料查询等
