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1、概率论与数理统计习题及答案习 题 一1.略.见教材习题参考答案.2.设4,B,C为三个事件，试用4 B,C的运算关系式表示下列事件:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)力发生，B,C都不发生;4与B发 生,C不发生；A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,C都发生；C至少有一个发生;C都不发生；C不都发生；C至多有2个发生;C至少有2个发生.【解】(1)ABC(2)ABC(3)ABC(4)/4U5UC=5CU ABC UABC U ABCUAB CUABC UABC=ABC(5)ABC=AJBJC(6)ABC(7)ABCUAB CUABC U ABCUABC U ABC U
2、 ABC=ABC=4 U 5 U C(8)ABUBCUCA=ABC UABCL)ABCUABC3.略.见教材习题参考答案4设4,8为随机事件，且 尸(J)=0.7,P(N-的=0.3,求 产C A B).【解】P(而)=-P(AB)=-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.65.设Z,8是两事件，且 尸(/)=0.6,尸(8)=0.7,求：(1)在什么条件下尸(A B)取到最大值？(2)在什么条件下尸(A B)取到最小值？【解】当N 8=/时，P(4 B)取到最大值为0.6.(2)当NU8=Q时，P G48)取到最小值为0.3.6.设4,B,C为三事件，且 尸(A)=P(B)=1/4
3、,P(C)=1/3 且P(AB)=P(5 0 =0,P(AC)=1/12,求4 B,C至少有一事件发生的概率.【解】P(T4U 5U C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)111134 4 3 12 47.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张纣.心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=c：C C 3c%/图8.对一个五人学习小组考虑生日问题：(1)求五个人的生日都在星期日的概率；(2)求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1）设 4=五个人的生日都在星期日,基本事件总数为7$,有利事件
4、仅1 个，故P（小）=（-）5（亦可用独立性求解，下同）75 7（2）设刈=五个人生日都不在星期日，有利事件数为6$,故,、6、6 5P（4 2）=布=（三）T 7（3）设/3=五个人的生日不都在星期日P（小）=l-P（i）=l-（y ）59 .略.见教材习题参考答案.1 0 .一批产品共N件，其 中 M件正品.从中随机地取出件（30.如图阴影部分所示.P=吧602 422.从（0,1）中随机地取两个数，求:(1)(2)【解】两个数之和小于9 的概率;5两个数之积小于工的概率.4设两数为x,y,则 O v x j Y l.6(i)x+y-1 44p=1-2_5_5=lZ =o.68,1 251
5、(2)x y=0.9即为(0.8)W 0.1故1 1至少必须进行1 1 次独立射击.3 2 .证明：若 尸(Z I 2)=P(A|B),贝 IJ 4 B相互独立.【证】P(mB)=P(川 5)即0(幽=尸(登P P 亦即 P(A B)P 6 =P(痛)P(B)P(AB)1-尸 =P(J)-P(AB)、P(B)因此尸(4 S)=P(N)P(8)故/与 8相互独立.3 3 .三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为，-求将此密码破译出的概率.5 3 4【解】设 4=第，人能破译 0123),则P(j 4)=1-。(彳Z 无)=1-尸(彳)P(五)P(Z);=134.甲、乙、丙三人独立地向同一
6、飞机射击，设击中的概率分别是0 4,0.5,0.7,若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为06若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设 4=飞机被击落,5=恰 有 i 人击中飞机,=0,1,2,3由全概率公式，得P(A)=t p(A B(B)/=0=(0.4 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.7)0 2+(0.4 X 0.5 X 0.3+0.4 X 0.5 X 0.7+0.6 X 0.5 X 0.7)0.6+0.4 X 0.5 X 0.7=0.4 5 835.已知某种疾病患者的痊愈率
7、为2 5%,为试验一种新药是否有效，把它给1 0 个病人服用，且规定若1 0 个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效，求：(1)虽然新药有效，且把治愈率提高到3 5%,但通过试验被否定的概率.(2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.3【解】(1)月=Z Co(O.3 5)O.6 5 y j=0.5 1 3 8A=0i o(2)p2=ZC：o(O.2 5)“O.7 5)g =0.2 2 4 1k=43 6.一架升降机开始时有6 位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：(1)4=某指定的一层有两位乘客离开”；(2)8=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开
8、”；(3)C=恰有两位乘客在同一层离开”；(4)至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在1 0 层楼中的任一层离开，故所有可能结果为I O,种.C294(1)P(4)=,也可由6重贝努里模型：1 06i QP(/)=C：()2(一)46 1 0 1 0(2)6个人在十层中任意六层离开，故P6P(B)=T1 06(3)由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有 C；0 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有 C；种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8 层中任一层离开，共有C；Cj C；
9、种可能结果；4人同时离开，有C；种可能结果；4个人都不在同一层离开，有 P；种可能结果，故P(C)=C：o C：(C；C：C；+C；+P；)/l O 6(4)D=8.故p6P(O)=1-P(8)=1-萧3 7.个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：(1)甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；(2)甲、乙、丙三人坐在一起的概率；(3)如果个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】(1)P =一n (2)3!(-3)!3，(一 1)!1 ，3!(一 2)!(3)Pi=LL=-iP2=一丁-，1！n n38.将线段 0,0 任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设这三
10、段长分别为xjy-x-y.则基本事件集为由0vrS,0 a x yx+(a-x-y)y_y+(a-x-y)x构成的图形，即0 x 22x+y PA(B UC)=P(AB U=P(AB)+P(AC)-P(ABC)NP(AB)+P(AC)P(BC)4 2 .将 3 个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率.【解】设 4=杯中球的最大个数为/,/=1,2,3.将 3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有4 3 种，杯中球的最大个数为1 时，每个杯中最多放一球，故C33,30中/而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中，故c1P(4)=常i1 63 1 9因此 P(4
11、)=l-尸(4)一 尸(4)=1 一1 7 7 =五o lo lo叶p.C：C；C；9或 P(AJ=4 ；w=一2 43 1 643.将一枚均匀硬币掷2次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷 2次硬币，可能出现：/=正面次数多于反面次数,8=正面次数少于反面次数,C=正面次数等于反面次数,A,B,C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故 产(/)=P(B).所以山 2重贝努里试验中正面出现n次的概率为P(C)=&,(3)(；)故尸 Q)=3 i c;”544.掷次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设/=出现正面次数多于反面次数,8=出现反面次数多于正面次数,
12、由对称性知P(A)=P(5)(1)当为奇数时，正、反面次数不会相等.由P(Z)+P(8)=1得 尸(A)=P(8)=0.5(2)当为偶数时，由上题知1 2 1P（/）=5C 丐 力45.设甲掷均匀硬币+1 次，乙掷次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】令甲=甲掷出的正面次数，甲L 甲掷出的反面次数.乙“二乙掷出的正面次数，乙 反=乙掷出的反面次数.显然有(甲正乙正)=(甲i lW乙S E)-(+1-甲 反 乙 反)=(甲反2 1 +乙反)=(甲反 乙 反)由对称性知P (甲正 乙正)=P(甲反 乙 反)因此尸(甲,1：乙止)=4 6 .证 明“确定的原则”(S u r e-t h
13、 i n g)：若 P(J|C)P(B Q,P(A C)P(B C),则 尸(A)2P(B).【证】由P CA C)2P(8 ,得P(AQ y P(BQP(C)-P 即有 P(AC)2P(BC)同理由 P(J|C)P(5|C),得P(AC)P(BC),故 P(Z)=P(AC)+P(AC)P(BC)+P(BC)=P(B)4 7.一列火车共有n节车厢，有4(%)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设4=第i节车厢是空的，册=1,)，则尸(4)=J(1J*nnp(4 4)=(i-/P(4 44)=(I-师其中iij2,总 是1，2,中的任父一 1个.显然节车厢全空
14、的概率是零，于是11&江 尸(4)=)*=C,(i T/=1 2邑=Z P(4 4)：(1-s,i=z p(4 4 (Y d-s.=oP(U4)=-52+53-+(-1)-+15 1=1=c(1 -与 Y(I -2 y +(_ 1)y T(I -/n n n故所求概率为n12_ 1i-p（U 4）=i-c：（i）*+c（i y .+（-i）n+1c：-,（i）*=i n n n48.设随机试验中，某一事件/出现的概率为0.试证明：不论e 0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则力迟早会出现的概率为1.【证】在前n次试验中，A至少出现一次的概率为1一(1一)-1(-oo)49.袋中装有机只正品
15、硬币，只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷,次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设/=投掷硬币厂次都得到国徽8=这只硬币为正品m-YI由题知 P（B）=一,P（B）=一m+P（川 8）=5,P（川 历=1则山贝叶斯公式知尸上迪=N B）PB）P（A）P（8）尸（Z|8）+P（8）P（川 8）m 1_ m+n 2r _ mm 1 Im-n 2r m+n50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有尸根的概率是多少？第一次用完一盒火
16、柴时（不是发现空）而另一盒恰有，根的概率又有多少？【解】以囱、为 记火柴取自不同两盒的事件，则有P（4）=尸（鸟）=；.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩，,根，说明已取了 2-,次，设次取自8盒（已空），-，次取自为 盒，第2-什1次拿起囱，发现已空。把取2-,次火柴视作2-，重贝努里试验，则所求概率为0=2C,（；）（；产；式中2反映当与外 盒的对称性（即也可以是为 盒先取空）.（2）前2 1次取火柴，有 次 取 自 当盒，-厂 次取自殳 盒，第2-厂次取自与 盒，故概率为A=2aLt（g）i（；广|=C（；产15 1 .求重贝努里试验中A出现奇数次的概率.【解】设在一次试验中A出现的概率为p.则由（q +P）=C%q +Cp q-+C 犷 产 +.+C：p q。=1（Q-P）=C /+C）2 尸 _.+（_1）cV以上两式相减得所求概率为P i=c）尸+C：p 3产+=；”（q-p）=！i-（i-2Pr 若要求在重贝努里试验中/出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得p2=1 l +（l-2 p）n.5 2.设 儿B是任意两个随机事件，求 巴C A+B）（A+B）（A+B）U+B）的
