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1、第二章函数概念与基本初等函数 2.1 映射、函数、反函数一、知识导学1 .映射：般地，设A、B 两个集合，如果按照某种对应法则-，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A 到集合B 的映射,记作f：A-B.(包括集合A、B 及A 到B 的对应法则)2 .函数：设A,B 都是非空的数集，如果按某种对应法则/,对于集合A 中每一个元素X,在集合B 中都有唯一的元素和它对应，且B 中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合A 到集 合 B 的一个函数，记 作 y =/(x).其中所有的输入值x组成的集合A 称 为 函 数=/(x)定义域.对于A中
2、的每一个x,都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.3 .反函数：一般地，设函数y=f(x)(x G A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系，用y 把 x 表示出来，得到x=l(y).若对于y 在 C中的任何一个值，通过x在 A中都有唯一的值和它对应，那么x=f T(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y的函数，这样的函数叫做函数y=f(x)(x G A)的反函数，记作x=f T(y).我们一般用x 表示自变量，用 y表示函数，为此我们常常对调函数乂=仔1(丫)中的字母x,y,把它改写成y=f T(x)反函数y=f T(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x
3、)的值域、定义域.二、疑难知识导析1 .对映射概念的认识(1)与是不同的，即二与三上有序的.或者说：映射是有方向的，(2)输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.(3)集合A,B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.2 .对函数概念的认识(1)对函数符号/(x)的理解知道y=/(x)与/(x)的含义是一样的，它们都表示；是式的函数，其中工是自变量，/(x)是函数值，连接的纽带是法则$.士是单值对应.(2)注意定义中的集合A,B都是非空的数集,
4、而不能是其他集合；(3)函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.3.对反函数概念的认识(1)函数y=/(x)只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数;(2)反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.(3)互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x 对称.三、经典例题导讲 例 1 设 1 4=a,b,c ,N=-2,0,2 ,求 从 M到 N的映射种数;(2)从 M到 N的映射满足/(a)/(b)f(c),试确定这样的映射/的种数.错因：没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清正解：(1)由于
5、M=a,b,c ,N=-2,0,2),结合映射的概念，有一共有2 7 个映射ci-0 a-2(I-2 ci-2(2)符合条件的映射共有4个6-2,2-2,伊-0c f -2 c f -2 c f -2,2 0,c-0 例 2 已知函数/(x)的定义域为 0,1 ,求函数/(x +1)的定义域错解：由于函数/(x)的定义域为 0,1 ,即O W x W I,+./。+1)的定义域是 1,2 错因：对函数定义域理解不透，不明白/(x)与/&*)定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：/(x)中x取值的范围与/(3)中式子u(x)的取值范围一致就好了.正解：由于函数/(x)的定义域为 0,1,即
6、OWx K l /(x +1)满足.O W x +l W l-i V x K O,.,./(x +1)的定义域是 1,0*f x-5(x 6)例 3 已知：x e N*,/(x)=:二，求/(3).f(x+2)(x 6)错解：x)=,./(x+2)=(x+2)5=x-3l/U +2)(x 6)故/(x)=。，/=3 3=0.x-3 (x 6)错因：没有理解分段函数的意义，/(3)的自变量是3,应代入/(x +2)中去，而不是代入X-5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.正解:/(x)=,x 5/(x+2)(xN6)(x 6)/(3)=3 +2)=/(5)=/(5+2)=/(7)
7、=7-5=2 例4已知/(x)的反函数是尸(x),如果/(x)与/i(x)的图像有交点，那么交点必在直线y=x上，判断此命题是否正确？错解：正确错因：对互为反函数的图像关于直线y=x对称这一性质理解不深，比如函数3；=(,)，与)，=08,%的图像的交点中，点(；,；),(；,；)不在直线卜=；：上，由此可以说1 6明”两互为反函数图像的交点必在直线y=x上”是不正确的.例 5求函数 y=/(x)=Y _ 4x+6,x e l,5)的值域.错解：./(1)=124x1+6=3,/(5)=524x5+6=11又x e 1,5),./(X)的值域是 3,11)错因:对函数定义中，输入定义域中每一个
8、x值都有唯一的y值与之对应，错误地理解为x的两端点时函数值就是y的取值范围了.正解：配方，得y=/(x)=x24x+6=(x 2月+2VX G 1,5),对称轴是x=2；.当x=2时，函数取最小值为/(2)=2,/(x)/(5)=ll /(x)的值域是 2,11)例6已知/(X)=3x+4,求 函 数 尸(x+1)的解析式.错解：由已知得了(x+l)=3(x+l)+4=3x+7y =3 x +7 Mx=,；/(x+l)=-x-7错因：将函数/T(x+1)错误地认为是/(x +l)的反函数，是由于对函数表达式理解不透彻所致，实际上/(x +1)与/T(X+1)并不是互为反函数，一般地应该由/(x
9、)先求/T(X),再去得到/T(X+1).v*4正解：因为/(x)=3 x +4的反函数为/T(X)=,所以/T(X+1)=(X+;4=2 =；X_ 例7根据条件求下列各函数的解析式：(1)已知/(x)是二次函数，若/(O)=O,/(x +l)=/(x)+x +l,求/(x).(2)已知/(+1)=x +2 4，求/(x)(3)若/(x)满足/(x)+2/d)=a x,求/(x)X解：(1)本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解设/(x)=奴？+bx+c(。0)由于/(0)=0 得/(x)=ax2+b x,又由/(x +1)=/(x)+x +1,J。(1+1)2+/?(x +1)=ax2+b
10、 x +x +1即 ax2+(2a+b)x+a +。=ax2+(0+l)x +12a +。=b +1,0),/.V x =w-l (1)A/(M)=(M-1)2+2(H-1)=M2-1(D/.f(x)=x2-i(X 1)(3)由于/(龙)为抽象函数，可以用消参法求解用 L代X可得：/(-)+2/(x)=-,XXX与 f M +2f(-)=axX联列口J消小去了 (一1 )x 得ZB：f/(/x、)-2-。-a-x-.x 3 x 3点评：求函数解析式(1)若已知函数/(x)的类型，常采用待定系数法；(2)若已知/g(x)表达式，常采用换元法或采用凑合法；(3)若为抽象函数，常采用代换后消参法.例
11、8已知3 1+2y 2=6 x,试 求 的 最 大 值.分 析：要 求/+y 2的 最 大 值，由 已 知 条 件 很 快 将x 2+y 2变 为 一 元 二 次函数/(x)=2。-3)2+,然后求极值点的x值，联系到V NO,这一条件，既快又准地求出最大值.解由 3%2+2y 2=6x得y 2 =3 x 2+32%.23 .,*y 2 2 0,.-+3 x 2 0,1.0 W x W 2.又/+y 2=犬 _|.彳2 +3 x =_ g(x-3)2+1,1Q.当x =2时，/+/有最大值，最大值为一上(2 3)2+=4.2 2点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作
12、法如下：由 3%2+2 y2=6 x得 y2=-1X2+3X,x2+y2=x2 x2+3 x =-(x-3)2+g,Q当x =3时，Y+V取最大值，最大值为三2这种解法由于忽略了 V NO这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题.例9 设/(x)是R上的函数，且满足/(0)=1,并且对任意的实数x,y都有于(X -,)=/(x)-y(2x-y+1),求/(x)的表达式.解法一：由/(0)=1,/(x-y)=/(x)-y(2
13、x-y+l),设=,得/(0)=/(x)-x(2 x -x +1),所以/(x)=x2+x +1解法二：令x =0,得/(0 y)=/(O)-y(y+1)B J/(-y)=l-y(-y+l)又将一 y用x代换到上式中得f(x)=x2+x+点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定.四、典型习题导练1 .已知函数f(x),x G F,那么集合(x,y)|y=f (x),x G F d (x,y)I x=l 中所含元素的个数 是()A.0 B.1 C.0 或 1 D.1 或 22 .对函
14、数/(x)=3x2+ax+b作代换产g(t),则总不改变f(x)值域的代换是()A.g(f)=lo g j2c.g(t)=(t l)2B.g)=(g)D.g(t)=c o s t1 94 .函数f(x)=Z l x c|的最小值为i=lA.1 9 0 B.1 7 1 C.9 0 D.4 55 .若函数F(x)=*-(/3)在 定 义 域 内 恒 有/=x,则 勿 等 于()4x-3 433A.3 B.-C.-D.-32 26 .已知函数/(1)满 足:f(a+b)=f(a)f(b),/(I)=2,则f2(l)+f(2)J 2Q)+y(4)f 2(3)+f(6)/十/(I)/(3)f(5)f(7
15、)-7 .J知函数F(x)满足f(l o g*x)=Y (x-,)(其中a 0,收 1,x 0),求F(x)的表达式.a 1 x2 4-3%8 .已知函数/(x)是函数y=而 j-1(x e R)的反函数,函数g(x)的图像与函数y=的图像关于直线y=x-l 成轴对称图形，记 F(x)=/(x)+g(x).(1)求函数F (x)的解析式及定义域；(2)试问在函数F (x)的图像上是否存在两个不同的点A、B,使直线A B 恰好与y 轴垂直？若存在，求出A、B两点的坐标；若不存在，说明理由.2.2函数的性质一、知识导学1 .函数的单调性：(1)增函数：一般地，设函数y =/(x)的定义域为I,如果
16、定义域I内某个区间上任意两个自变量的值 X 2,当X|V X 2 时,都有f(xJf(X 2),那么就说f (x)在这个区间上是减函数.(3)单 调 性(单 调 区 间)如 y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f (x)的单调区间.2 .函数的奇偶性：(1)奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.(2)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.(3)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.3.函数的图像：将自变量的一个值X。作为横坐标，相应的函数值f(x。)作为纵坐标，就得到平面内的一个点(x,f(x。)，当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点的集合(点集)组成的图形就是函数y=f(x)的图像.二、疑难知识导析1 .对函数单调性的理解，函数的单调性般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论,函 数 y=f(x)在给定区间上的单调
