《2023年大学高等数学全公式（大一到大四通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年大学高等数学全公式（大一到大四通用）（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等数学公式导数公式:(tgx)r=s e c2 x(c tgx=-e sc?x(s e c x)=s e e i n g%(e s e x)=-c s c x-c f g x(ax=axna(l o g“x)=xina(a r c s i n x)/=/(a r cC O S T)=/1(are tgx)=-71 +x(arc c tgx)=-T基本积分表：j tgxd x=-l n|c o s x|+Cj c tgxd x=l n|s i n x|+Cd xs e c xt Z r =l n|s e c x+r 4-Cc o s2 Xd xs i n2x=J s e c2 xd x=tgx
2、-Cj e s e x必:=l n|c s c x-c 吆X +Cd xa2d x-2x-a,2,2=-arc tg-+CaIn2ax-ax+aj s e c x-A z Z x=s e c x+Cj e s e x-c tgxd x=-c s c x+Caxd x=+CJ In a shxd x=c hx-C=j e s c2 xd x-c tgx-Ca+Cd x 1 i a+x 7=In-+Ca-x 2。a-xc hxd x-shx+C=a r c s i n+CaJ2=In(x+ylx2 a2)+C冗2/“=J s i n xd x=J c o s xd x-1n-2n2o0jy/x2+
3、a2d x=/x1+/+%l n(x+x2+a2)+C/-l n x+J -Ja2 x2d x-y a三角函数的有理式积分：2 a2.x _-x d-a r c s i n+C-Jx2-a2+C2a.2u 1-u2 x,2d uS i n x=-7，C O S X =-7，M=tg_,d x=-r1 +M2 1 +M2 2 1 +M2一些初等函数:两个重要极限:双 曲 正 弦:2X .-X双曲余弦:Mx=2双曲正切:卅0=四=0 一 chx ex+e rarshx=ln(x+Vx2+1)arclvc=n(x+ylx2-1)limA-0sinxx=1lim(l+与=e=2.71828182845
4、9045.1 8%arthx=n21 +xl-x三角函数公式:诱导公式：和差化积公式:角Asincostgctg-a-sinacosa-tga-ctga90-acosasinactgatga900+acosa-sina-ctga-tga180-asina-cosa-tga-ctga180+a-sina-cosatgactga270-a-cosa-sinactgatga270+a-cosasina-ctga-tga360-a-sinacosa-tga-ctga360+asinacosatgactga 和差角公式:sin(a)=sinacos4cosasin 0cos(tz/7)=cos6zcos
5、+sinasin 夕tg(a /3)=吟 上 tgPl*gatg(3sina+sin 0=2sina+a-B-co s-2-2sin a-sin 2 c o s萼 sin 学c/g(a)=ctga-ctg/3+lA c a+/?a 0cosa+cos)=2cos-cosctgp ctgao、.a+B.a-Bcos6z-cosp=2sin-sin-2 2倍角公式:sin 2a=2sinacosacos2=2cos2z-l=l-2sin2=cos2cr-sin2 +3 yo +C z o +D|IA2+B2+C2x=mt空 间 直 线 的 方 程 口 =二比=二 包=r，其中6 =见,;参数方程1
6、 y=为+9m n p z =z 0+m二次曲面：2 2 21、椭球面3+与+-=1a b“c2 22、抛 物 面 二+二 =z,(p，4 同号)2P 2q3、双曲面：2 2 2单 叶 双 曲 面 为+2-二=1a2 b2 c22 2 2双 叶 双 曲 面 -方+亍=1(马鞍面)多元函数微分法及应用人 八 j 0 z dz,du,du,du,全微分：dz-dx-dy du-dx-dy-dzdx dy dx dy dz全微分的近似计算：A z =d z =fxx,y)A v+fy(x,y)A y多元复合函数的求导法z =/w(/),v(r)dz _ dz du dz dvdt du dt dv
7、dtz =/(%,y)#(%,y)dz _ dz du dz dvdx du dx dv dx当 =w(x,y),v =v(x,y)时,d,u =du dtx+du d.y .d v=5v d.x+d v d,ydx dy dx dy隐函数的求导公式：隐函数尸(x,y)=0,包=一里dx FY隐函数尸(x,y,z)=0,叁dz=一F,dx F隐函数方程组F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0j/(F,G)d(u,v)aF一ava G一av加标丝l au氏F、,G.Gi a(G)/d(x,v)1 d(F,G)a(,-J-av-axav-ay1 d(F,G)J d(u,x)1 d(F,G
8、)A7a(,-微分法在几何上的应用:x =甲)空间曲线y =”(t)在点M5,y,z o)处的切线方程三二%=芍 也=曰_。仇)“伉)&)Z (0(1)在点M处的法平面方程：e (f o)(x-X o)+”Q o)(y-y()+G (7o)(z-z 0)=0若空间曲线方程为 Z)U，则切向量亍=2G(羽 y,z)=0 G、,曲面厂(尤,y,z)=0上点M(x0,y0,z0),则：工工GG二 G G1、过此点的法向量：/2 =Fv(x0,y0,z0),Fv(x0,y0,z0),Fr(x(),y0,z()2、过此点的切平面方程工(与广0,20)。一%)+4(%,%,20)(-0)+工(0,y 0,
9、20)(2-20)=03、过此点的法线方程：=X工(尤0，%，2。)工(X o，y o，Z o)工(X o，y o，Zo)方向导数与梯度:函数z=/(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向/的方向导数为2=%cosp+更 sin夕cl dx dy其中泌U轴到方向/的转角。函数z=/(x,y)在一点(x,y)的梯度：gracjx,y)=或：+dx oy它与方向导数的关系是更=grad/(无,y)Z,其中0=cose+sin0J,为/方向上的dl单位向量。g 是gracj/Xx,y)在/上的投影。dl多元函数的极值及其求法：设AOo,%)=/、,(/，%)=，令：九*0，%)=A，fXy(x0,y0
10、)=B,fyy(x0,y0)=CA C-B2 耐尸式如，空 警 金A 0,(%,%)为极小值则JAC-I v o 时，无极gAC 52=0时，不确定重积分及其应用：JJ/(x,y)公办=JJ f(rcos0,rsm0)rdrd0DD 曲面z=f(x,y)的面积A=JJDdzdxdxdy平面薄片的重心：元=一MJJ xp(x,y)daDJJ p(x,y)daDJJymx,y)dby-_ L=_M JJo(x,y)dbD+平面薄片的转动惯量：对于x轴/=JJy”(x,y)db,对于y轴/、,=JJ一2(龙,田加DD平面薄片(位于my平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a 0)的引力：F=Fx,F
11、y,F:,其中:F _川(%W，F _ 川 p(x,y)ydb,尸二 八/7(x,)-)xbD(x2+y2+a2y D(x2+y2+a2)2 D(x2+y2+iz2)2柱面坐标和球面坐标:x=rcos柱面坐标，y=rsin。,z=zjjj f(x,y,z)dxdydz=Jjj F(r,e,z)rdfdOdz,nQ其中：F(r,8,z)=/(rcos,rsin,z)x=rsin/cos。球面坐标，y=rsinsin,dv=rd(p rsM dB,dr=户 sm(pdrd(pdOz=rcos(pIn n r(p,0)JJJ f(x,y,z)dxdydz=jjj F(r,(p,0)r2 ssx(pd
12、rd(pdO=dOd(p F(r,(p,0)r2 sin(pdrQ c o o o重心：*=5 0 卜 刖 歹=2=其中M=H =J*VlV1 Q lV1 Q.LVi Q.Q转动惯量：4 =/，(/+Z?)刖，/y=jjju2+z2)/Wv,A=JJJ，+y2)Mc c c曲线积分:第一类曲线积分(对帐的曲线积分)：设/Xx,y)在L上连续，L的参数方程为(a /4 )，贝 U：)=*)J f(x,y)ds=J f l(p，w(t)(pC+“2 出(a ccfy工o.,y对坐标的曲面积分JJ P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：j j R(x,y
13、,z)dxdy=jj/?x,y,z(x,y)dxdy,取曲面的上侧时取正号；ZDx).jjP(x,y,z)dydz=jJPx(y,z),y,zdydz,取曲面的前侧时取正号；2外取曲面的右侧时取正号。两类曲面积分之间的 7 ：jj Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=jj(Pcosa+Qcos/3+Rcosy)dsz工jj Qx,y,z)dzdx-J|Qx,y(z,x),zdzdx,高斯公式:j j j (-+-)J v =耳 Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(尸 co s a +Q co s/?+R co s y)d s高斯公式的物理意义通量与散度：散度：d i v,=+詈+普，即：单位
14、体积内所产生的流体质量若d i v丘0,则为消失通量:。A-iids=J j Ands=j j (尸co s c+Q co s尸 +R co s/)d s,z z z因此，高斯公式又可写成切d i v,d y =0A/斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：f/J H dQ.,dP bR、,.dQdy 也 dz dx dxdxdy=1 Pdx+Qdy+Rdzrdydzdzdxdxdyco s t zcos/3COS/上式左端又可写成gddxd办ddz叩EadxdS yddzPQRPQR空间曲线积分与路径赛的条件 并 等 等哈鲁啜k0&RjAa v-Q旋度：r o t A=一dxP向量场区沿有向闭
15、曲线T的环流量，Pdx+r常数项级数：Qdy+Rdz=J A -tdsr等比数歹!J+q+q2 +0 i i-q等差数列4 +2 +3+=如 业2调和级数：1+,+!+!是发散的2 3 n级数审敛法:1、正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判别法）：1 时，级数收敛设：x?=l i m 则,1 时，级数发散夕=1 时,不确定2、比值审敛法：夕 1 时，级数收敛设：P=则 pl 时，级数发散“一 00 TJ0 =1 时，不确定3、定义法：%=%+2+s“存在,则收敛；否则缙8交 错 级 数-2 +3 -N 4 +（或-%+“2-“3 +，。）的审敛法-莱布尼兹定理:U U,如果交错级数满同盎“1 0
16、,那么级数收敛且其和4 小,其余项项绝对瞰、TO O n绝对收敛与条件收敛：（1）H,+t t2+,其中“为任意实数；（2）|i|+k|+k I+1 +如果收敛，则肯定收敛，且称为绝对I攵敛级数;如果发散，而收敛，则称为条件收敛级数。调 和 级 数 发 散，而攵敛级数2 5 收敛；P级数研P 4 1 时发散 1 时收敛塞级数:2 /|X|1时，收敛于时，发散1对于级数(3)%+。“九+，如果它不是仅在原点I 攵敛，也不是在全/k|R 时收敛数轴上都收敛，则必存生R,使 时 发 散，其中R称为收敛半径。=R时不定/夕彳0时，R -求收敛半径的方法：设im瞑=夕，其中%,是 的 系 数，贝 j 0=0时，R=+8n P+8 时，R=0函数展开成塞级数：函数展开成泰勒级数：/5)=/(x)(x-Xo)+A(。)2+(0)+2!！余项：凡=(2 2 也(X T。严 J(X)可以展开成泰勒级数娥要条件是：limR,=0(n+1)!十/=(寸即为麦克劳林公式：/(x)=/(0)+/(0)%+/3/+O 2 2/+2!nl一些函数展开成幕级数：(l+x)=l+/n x+-+-龙+(-1X1)2!！r
