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1、昭 通 学 院学 生 毕 业 论 文论文题目 证明不等式的几种方法 姓 名 学 号 201103010128 学 院 数学与统计学院 专 业 数学教育 指导教师 2014年3月6日证明不等式的几种方法摘 要：证明不等式就是要推出这个不等式对其中所有允许值都成立或推出数值不等式成立。本文主要归纳了几种不等式证明的常用方法。关键词：不等式; 证明; 方法1.引言在定义域中恒成立的不等式叫做恒不等式，确认一个不等式为恒不等式的过程为对该不等式进行证明。证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒不等式进行合乎逻辑的等价变换。主要方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、归纳法、放缩法、构造法、导数
2、法、均值不等式性质证明不等式等方法。2.不等式证明的常用方法2.1 比较法比较法是直接作出所证不等式，两边的差（或商）然后推演出结论的方法。具体地说欲证,直接将差式与比较大小；或若当时，直接将商式与比较大小。差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“若,则;若,则.”其一般步骤为：1.作差：观察不等式左右两边构成的差式，将其看成一个整体。2.变形：把不等式两边的差进行变形，或变形成一个常数，或为若干个因式的积，或一个或几个平方和。其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的方法。3.判断：根据已知条件与上述变形结果判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求不等式成立的结论。应用范围：当被证的
3、不等式两端是多项式，对于分式或对数式时，一般使用差值比较法。商值比较法的理论依据是：“，若则;若则.”其一般步骤为：1.作商：将左右两端作商。2.变形：化简商式到最简形式。3.判断：商与1的大小关系，就是判定商大于1还是小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂指数式时，一般使用商值比较法。例1. 1）设.求证：+.2）.求证：.证明: 1）作差:+-+=（-）+（+）=（-）.因为 ,.所以 ,1=.所以 （-）. 即 +.2）由的对称性，所以不妨设，与均为正数。作商:=由于,所以， .而且, ,.所以 .所以.2.2 综合法综合法是由因导果的逻辑推证方法，也就是从已知条件或已证明的不等式出
4、发，根据不等式的性质、基本不等式或函数的单调性。经过一系列的中间问题寻找它们的部分联系，最后逐步推导出待证不等式。例2. 已知0，.求证：.证明:由0，则有=.从而有 .所以原命题只需要证，即 .从而得： .当时取等号。所以成立。2.3 分析法分析法在数学方法中特指由结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法。一般从待证的不等式出发分析使这个不等式成立的充分条件，直至使不等式成立的条件都已具备就可以证明待证不等式成立。在数学证明中，它表现为：从数学题的特殊结论或需求问题出发，一步步地探索到题设已知条件的过程。例3. 设为互不相等的正数.求证：.证明：先将要证明的不等式看成一个整体，并假设它成立，然
5、后通过变形，将它分解成一些适当的部分再通过适当的组合，将不等式左端的各个部分进行组合形成新的部分（）+（）+（）.再分析三个新的部分。由； . 所以成立。例4. 设且.求证：.证明:要使；只要.要使；只要.（因为）要使；只要.即.由可知.所以不等式成立。2.4 数学归纳法数学归纳法是证明与自然数有关的不等式的有效方法。如果不等式与自然数有关,我们不可能将所有的自然数一一加以论证,对于这类不等式,通常可应用数学归纳法来证明。数学归纳法证明原理是一个关于自然数的命题只要满足以下两个条件：1.当时,命题成立。2.假设时，命题成立,并由此推出时,命题也成立。例5. 证明不等式:.证明：1)当时，成立.
6、2)假设当时，不等式成立，即 要证当时，不等式成立，即 式左边=. 因此时成立。综上所述，原不等式对任意自然数都成立。2.5 反证法反正法是从否定所求的结论出发,经过正确的逻辑推理,引出一个矛盾的错误，从而肯定原命题的成立。反正法是种间接证法，当不等式不便使用直接法证明时或自身是一种否定命题时，可考虑用反证法。反正法本身属于数学推理的常用方法，为了证明原命题导正确性，人们可以作试探性假设。的反命题为真，然后通过一连串地推理。人们得出关于的矛盾，这样就证明了的错误。因此，在基本逻辑原理中“排中律”的基础上，的错误导致的正确。例6. 设且.求证.证明：假设，则有因为正弦函数在区间上是增函数，所以
7、由式两边平方得：.整理得：.由上可知,则说明：不可能成立。因此成立 。2.6 换元法换元法是根据不等式的结构特征，选取适当的变量代换，从而化繁为简，或实现某种转化以便证明。例7. 设且.求证：.证明：令，.由于，所以.则=.2.7 放缩法放缩法又叫传递法,它是跟据不等式的传递性，将所求证的不等式的一边适当的放大或缩小，使不等式变得清晰明朗，从而证得原不等式成立。放缩放的具体做法要依据不式的结构来确定。如对于和式，采用将某些项代之以较大（较小）的数来获得一个较大（较小）的和，或用舍弃一个或几个正项的方法，来获得较小的和；对于分式，则采用缩小（放大）分母或放大（缩小）分子，来增加（减少）商。简单地
8、说，放缩法是要证明不等式成立，而借助一个或几个中间变量通过适当地放大或缩小达到证明不等式的手段。其基本原理是不等式的传递性，关键要掌握放缩的“度”。例8.已知.求证.证明：因为.所以.例9.证明：不等式 .证明：因为.所以.所以成立。2.8 均值不等式定理:设为个正数，则称为均值不等式，其中， （几何平均） （算术平均） 当且仅当取等号。利用算术几何均值不等式来证明不等式时，所构造不等式的内容及形式要注意均值不等式的条件“一正二定三相等”。例10.分析：要证明几个不等式的和不超过一个定值时，可考虑利用均值不等式。证明：由均值不等式可知.(当且仅当时取等号)取,，.则=.因为，.不可能同时相等。
9、故. 2.9 参数法在证明某些证明不等式时，可以引入参数，再应用已知不等式进行放缩，最后根据取等号条件来确定所选的参数值,这种应用参数法证明不等式，有较大的灵活性。例11. 设，为常数.证明： .证明：引入参数. 由不等式取等号的条件可知，令 求得.于是.所以原不等式成立。2.10 导法数导数法是应用函数的单调性来证明一些不等式。由于不等式与函数有密切关系，因此将求证的不等式构造出函数，再利用函数的单调性来证明某些不等式。此方法适用于函数不等式的证明。例12. 证明：,有不等式.证明：分别证明这两个不等式。.左端不等式，设.导数.，有.从而在严格增加，且连续。则有,所以.右端不等式，设.导数=
10、.,有.从而在严格增加，且连续。则有,所以.综上得：不等式成立。2.11 构造法对于一些不等式的证明, 若能巧妙地运用构造法,可以简洁的完成证明。如构造函数利用函数单调性证明不等式,构造方程证明不等式,构造向量证明不等式等 。总之不等式的证明方法因题而异,灵活多变,技巧性强的一般没有固定的程序, 有时一个不等式的证明方法不止一种, 而一种证法又可能要用到好几个技巧，实际上不等式证明的题一般有多种证法。 而有的题目可同时用几种方法证明，因此我们在平时解题中要反复训练,加强对各种方法的认识，把握每种方法的长处和不足,从而不断提高解决问题的能力。例13.对一切大于的自然数.求证不等式.分析：本题可以
11、用数学归纳法证明，但步骤繁琐，所以采用整体构造法来证明。证明:设.构造与之对应的式子.因为对于的自然数都有所以.故.即.所以不等式成立。参考文献1 教师招聘考试编委会,教师考试教材M,北京:教育科学出版社，2011.2，98-100.2 陈传理，张同君，竞赛数学教程M，北京：高等教育出版社，2013，116-142.3 张雄，李得虎，数学方法论与解题研究M，北京：高等教育出版社，2011，18-124.4 李长明，周焕山, 初等数学研究M，北京：高等教育出版社，1995，253-261.5 R.柯朗，数学是什么M，湖南：湖南教育出版社，1985，96.6 杨学枝,数学奥林匹克不等式研究M，哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009, 25.7 刘玉琏，数学分析讲义（第五版）上册M，北京：高等教育出版社，2008，289-294. 88
