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1、第一章 函数极限连续一. 填空题1. 已知 定义域为_.解. , , 2设, 则a = _.解. 可得=, 所以 a = 2.3. =_.解. 所以 0, b 0解. =4. 设试讨论在处的连续性与可导性.解. 所以 , 在处连续可导.5. 求下列函数的间断点并判别类型(1) 解. , 所以x = 0为第一类间断点.(2) 解. f(+0) =sin1, f(0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点; 不存在. 所以x = 1为第二类间断点; 不存在, 而,所以x = 0为第一类可去间断点; , (k = 1, 2, ) 所以x =为第二类无穷间断点.6. 讨论函数 在x = 0处的连
2、续性.解. 当时不存在, 所以x = 0为第二类间断点; 当, , 所以 时,在 x = 0连续, 时, x = 0为第一类跳跃间断点.7. 设f(x)在a, b上连续, 且a x1 x2 xn b, ci (I = 1, 2, 3, , n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个x, 使 .证明: 令M =, m =所以 m M所以存在x( a x1 x xn b), 使得8. 设f(x)在a, b上连续, 且f(a) b, 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.证明: 假设F(x) = f(x)x, 则F(a) = f(a)a 0于是由介值定理在(a, b)内至少
3、存在一个x, 使f(x) = x.9. 设f(x)在0, 1上连续, 且0 f(x) 1, 试证在0, 1内至少存在一个x, 使f(x) = x.证明: (反证法) 反设. 所以恒大于0或恒小于0. 不妨设. 令, 则. 因此. 于是, 矛盾. 所以在0, 1内至少存在一个x, 使f(x) = x.10. 设f(x), g(x)在a, b上连续, 且f(a) g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = g(x).证明: 假设F(x) = f(x)g(x), 则F(a) = f(a)g(a) 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x.11. 证明
4、方程x53x2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根.证明: 令F(x) = x53x2, 则F(1) =4 0所以 在(1, 2)内至少有一个x, 满足F(x) = 0.12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且, 求及.解. . 所以 . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以在x = 0连续. 所以f(0) = 3. 因为 , 所以, 所以 = 由, 将f(x)台劳展开, 得 , 所以, 于是.(本题为2005年教材中的习题, 2008年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)第二章 导数与微分一. 填空题1 . 设, 则k = _.解. , 所以所
5、以 2. 设函数y = y(x)由方程确定, 则_.解. , 所以 3. 已知f(x) =f(x), 且, 则_.解. 由f(x) =f(x)得, 所以所以 4. 设f(x)可导, 则_.解. =+=5. , 则= _.解. , 假设, 则 , 所以6. 已知, 则_.解. , 所以. 令x2 = 2, 所以7. 设f为可导函数, , 则_.解. 8. 设y = f(x)由方程所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_.解. 上式二边求导. 所以切线斜率 . 法线斜率为, 法线方程为 , 即 x2y + 2 = 0.二. 选择题1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且,
6、 则当n为大于2的正整数时, f(x)的n阶导数是(a) (b) (c) (d) 解. , 假设=, 所以 =, 按数学归纳法 =对一切正整数成立. (a)是答案.2. 设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x), 且b, 其中a, b为非零常数, 则(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且a(c) f(x)在x = 1处可导, 且b (d) f(x)在x = 1处可导, 且ab解. b =, 所以ab. (d)是答案注: 因为没有假设可导, 不能对于二边求导.3. 设, 则使存在的最高阶导数n为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解.
7、 . 所以n = 2, (c)是答案.4. 设函数y = f(x)在点x0处可导, 当自变量x由x0增加到x0 + Dx时, 记Dy为f(x)的增量, dy为f(x)的微分, 等于(a) 1 (b) 0 (c) 1 (d) 解. 由微分定义Dy = dy + o(Dx), 所以. (b)是答案.5. 设 在x = 0处可导, 则(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以 , 所以b = 0. , , 所以 0 = a. (c)是答案.三. 计算题
8、1. 解. 2. 已知f(u)可导, 解. =3. 已知, 求.解. 4. 设y为x的函数是由方程确定的, 求.解. , 所以四. 已知当x 0时, f(x)有定义且二阶可导, 问a, b, c为何值时 二阶可导.解. F(x)连续, 所以, 所以c = f(0) = f(0);因为F(x)二阶可导, 所以连续, 所以b = , 且 存在, 所以, 所以 , 所以 五. 已知.解. , k = 0, 1, 2, , k = 0, 1, 2, 六. 设, 求.解. 使用莱布尼兹高阶导数公式 =所以 第三章 一元函数积分学(不定积分)一. 求下列不定积分:1. 解. 2. 3. 解. 4. 解. 方法一: 令, = 方法二: =5
