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1、上一节3空间矢量的概念上节导出的 A,B,C 坐标系统中异步电动机的基本方程式，在一般情况下是 很难求解的，用它来分析异步电动机变频调速系统的动态特性也是十分困难的。 通常采用各种坐标变换来改造放程式，使异步电动机动态特性的分析和基本方 程的求解变得比较容易进行。由于三相异步电动机在结构上的对称性(三相绕组对称，气隙均匀)，再加 上气隙磁场在空间按正弦规律分布的假定，因之能够采用空间矢量来表示电动 机的实际变量，从而使三相异步电动机的动态数学模型得到简化。一、 空间矢量的定义对三相系统而言，所谓空间矢量是这样定义的：在垂直与电动机轴的一个平 面上，取三相绕组的轴线(互差 120 0电角度)，把
2、三相系统中的三个时间变量 x (t),x (t)及x (t)看成是三个矢量的模，这三个矢量分别位于三相绕组的轴线A B C上；当时间变量为正时，矢量的方向与各自的轴线的方向一致，反之则取相反 的方向，然后把三个矢量相加并取合成矢量的k倍(k为任取的比例常数)，所 得合成矢量即为三个时间变量的空间矢量。为了表示空间矢量，在垂直与电机轴的平面上去定子 A 相绕组为实轴，引前90为虚轴，构成一个复平面，如图1所示。今取A轴为参考轴，A轴上长度为1的矢量1A二1Z0G二ej0为A轴的单位矢量。B轴和C轴的单位矢量分别为a=e j120 0e j 2400jae j 2400空间复平面及单位矢量这三个轴
3、上的单位矢量之间有如下关系 由此，如取定子A轴为参考轴，那么三相时间变量x (t),x (t)及x (t)的空间矢量A B C可表示为x A = k x (t)+ a x (t) + a 2 x (t)(1)ABC空间矢量用小写字母并在上方加一横杠表示，右上角的字母表示空间矢量的 参考轴。(单位矢量1Z0o所在坐标轴，称为“1”轴)。例求异步电动机定子磁势的空间矢量f A。1设定子三相电流的瞬时值分别为i , i,i每相绕组的有效匝数为A B C2 w kN 二 -wt1 兀p各相绕组磁势的瞬时值为按空间矢量定义，取定子 A 轴为参考轴，可得定子磁势的空间矢量为f a = k (f + af
4、+ a2 f ) = N k(i + ai + a2i ) - N i A(2)11 A BC1 A BC11式中 沪二k(i + ai + a2i )是以A轴为参考轴的定子电流空间矢量。在图2中示1A BC出了空间矢量f A , iA。11为便于了解磁势空间矢量的物理意义，设定子电流为三相稳态平衡正弦电流i = I cos(wt + 0 )A m110i = I cos(wt +0 一 12Oo) Bm110i = I cos(wt + 0 一 24Oo)Cm110式中 Im电流的副值010电流角频率c(+1)Af A 二 k( f + 叭+ a 2 fC )图二空间矢量f A及根据欧拉公式
5、 利用上式，将式(3)代入式(2)中得式中F= Fej010二(k3 2)NI ej0是复常数。上式说明，当三相电流为稳态111 m平衡正弦电流时定子磁势空间矢量的幅值是常数，其值为单向磁势幅值的k32倍，该空间矢量对定子A轴的空间相角为wt +0 ，对A轴的角速度为w = 2对。1 10 1 1因稳态下I , w都是常数，所以空间矢量fA端点的轨迹是一个圆，即fA是圆m 111旋转磁势。如果在动态过程中电流的幅值和角频率都随时间而变化时，f A的幅1值和旋转角速度也随时间变化，这时fA端点轨迹就偏离圆形了。可见磁势空间 矢量是有确切的物理意义的。实际上若不计此时的空间谱波，并去系数K=l,
6、那么在稳态下f ：即表示在空间按正弦分布的三相绕组合成磁势波。从式(2)看出，定子电流空间矢量A与定子磁势空间矢量fA仅差一有效 匝数，因此可以把理解为一个在空间按正弦分布的旋转磁势波，它的幅值1为旋转磁势波幅值的存N倍，而空间相位则表示旋转磁势波幅值的位置。按空间矢量的定义还可以写出定转子磁链和电压的空间矢量。二 极坐标变换按空间矢量定义式(1)写出的空间矢量是以定子A轴为参考的，实际上作 为参考轴的“1”轴可以任意选取，如图3所示，可以选定子A轴。转子a轴 或任意的x轴为“1”轴。由于参考轴选择的不同，同一空间矢量表现的形式 也就不同。例如在图3中的一个空间矢量X,根据图中给出的轴距角ea
7、,6a及9x以 及各轴之间的夹角e ,e，e如果选定子A轴为参考轴，x的角距为e a ；如取Ax ax Aa转子a轴为参考，角距就变成ea了，即角距减小了eA-ea =e 。因此只要把以Aa转子a轴为参考的空间矢量X的角距增加e ，就得到了以定子A轴为参考的空Aa间矢量X,用数学公式表示就是图三 极坐标变换的角度上式就是把以a轴为参考的空间矢量变换到以A轴为参考的极坐标变换公式。 仿此还可以得到以下的极坐标变换公式：在列写异步电动机空间矢量基本方程式时，由于选取的参考轴不同，基本 方程式的形式也不相同。为了能写出一个一般化的异步电动机空间矢量基本方 程式和等值电路，可以先取定子A轴为参考，列写
8、定子空间矢量方程式；取转 子a轴为参考列写出转子空间矢量方程式，这样做比较容易。然后把得到的方 程式利用极坐标变换公式变换到以任意轴x为参考轴的坐标系统中，得到一般 化空间矢量方程式。在应用时可以根据需要选取参考轴。例如可选A轴，a轴 或以同步角速度旋转的同步轴为参考等等，通过相应的极坐标变换即可得到不 同坐标系的基本方程式。三 空间矢量的逆变换据空间矢量定义，对三相定子而言，以定子A轴为参考的空间矢量为X a = k x (t)+ax (t) +a2 x (t)ABC如果以引前定子A轴。电角度的x轴为参考，则根据极坐标变换公式有Xx = XAe-j%=kx (t)+ax (t) +a2 x
9、(t) e-j0A(4)1ABCAx如已知三相瞬时值x ,x ,x (它们可以是电流，磁链或电压)并选定0和kA B CAx的值，按上式可唯一的求出空间矢量x。可见求空间矢量是一种变量的变换， 它把三相系统的三个瞬时值变换为空间复平面中的一个矢量。即用一个复变量(在复平面内复数可用矢量表示)同时表示三个时间变量。通过这种变换可以 使异步电动机动态数学模型中的变量减少了2/3，因而使动态数学模型得到 简化。但是根据空间矢量方程式求得的解是复变量，还需要进行相反的变换， 即把空间矢量变换为实际的变量。这种变换就是空间矢量的反变换。当已知空间矢量及xx,0，k时，按式(4)是不能唯一地确定三个时间变
10、1 Ax量的，这是因为一个方程式中有三个未知量，其解有无穷多个。为了进行变换 再补充两个关系式，即定义x的共轭值；x* = k x (t)+ax (t) +a2 x (t) ej0Ax(5)1ABC并定义一个“零轴分量”x = k k(x + x + x )(6)0 s 0 A B C其中k为任意选择的系数，例如当选k打时，取k = 1迈，则kk = 1訂。0丿 0 把式(4)(5)及(6)和在一起写矩阵形式，可得xx1e - j0 Axae-j0Ax*xx1=_ e j0 Axa2ej0Axxkk_0 s _00a2e- j0Axaej0Ax k 0xAxBxC=C lxzAx t(7)式中
11、 c 称为空间矢量的正变换矩阵。空间矢量的反变换矩阵为Z3ka 2ej axaej axae- j axa 2e - j axkkk0因而 可以证明，如果取k二详，k = 1则此时有0C-1 二 C *TZz式中C*T是复数矩阵C的共轭转置矩阵。满足上式关系时k及k的取值就是唯一z z 0的了。式 （8）称为“功率不变约束”，即若满足（8）的条件，则变换前用瞬时值x ,x ,x表示的功率（或转矩）公式与变换后用空间矢量表示的功率（或转ABC矩）的公式具有相同的形式。以上是以定子变量为例说明空间矢量的变换。对三相转子，空间矢量变换矩阵与式（7）中的变换矩阵c具有相同的形式，只是矩阵中含有指数函数各z元素中的6应换成9-9 oAxax Ax 0下一节
